群表示

1. 前置

• 群论(群作用)
• 向量空间(内部直和)

2. 基本定义

以下默认 $G$ 是群，$F$ 是域，$V$ 是 $F$ 上的向量空间。记 $GL(V)$ 为 $V$ 上全体可逆线性变换构成的一般线性群。若 $\dim V=n<\infty$，选定基后有 $GL(V)\cong GL(n,F)$。

2.1. 表示

$G$ 在 $V$ 上的表示有下面两个常用定义，二者等价。$V$ 称为表示空间，表示常记成 $(\rho ,V)$ 或简记为 $V$。

定义 A（同态）
群同态

$$\rho :G\to GL(V).$$

即每个 $g\in G$ 对应一个可逆线性映射 $\rho (g):V\to V$，并且

$$\rho (g_1{g}_2)=\rho (g_1)\circ \rho (g_2).$$

由此自动有 $\rho (e)={\mathrm{id}}_V$

证明：$\rho (e)=\rho (ee)=\rho (e)\circ \rho (e)$，在 $GL(V)$ 中左乘 $\rho (e{)}^{-1}$ 得 ${\mathrm{id}}_V=\rho (e)$。

定义 B（线性作用）
$G$ 在集合 $V$ 上的群作用 $\varphi :G\times V\to V$，记 $g\cdot v:=\varphi (g,v)$，并且每个 $g$ 的作用对 $V$ 的线性结构是线性的：

$$g\cdot (\alpha v+\beta w)=\alpha (g\cdot v)+\beta (g\cdot w).$$

2.2. 定义的等价性

二者的对应是

$$g\cdot v=\rho (g)(v).$$

证明（A $\iff$ B）

先由 A 推 B。给定 $\rho :G\to GL(V)$，定义 $\varphi (g,v):=\rho (g)(v)$。则

$$e\cdot v=\rho (e)(v)={\mathrm{id}}_V(v)=v,$$ $$(g_1{g}_2)\cdot v=\rho (g_1{g}_2)(v)=(\rho (g_1)\circ \rho (g_2))(v)=\rho (g_1)(\rho (g_2)(v))=g_1\cdot (g_2\cdot v).$$

故 $\varphi$ 是群作用。

又 $\rho (g)\in GL(V)$。按 $GL(V)$ 的定义，其中每个元素都是 $V$ 上的可逆线性映射，故 $\rho (g)$ 线性：

$$\rho (g)(\alpha v+\beta w)=\alpha \rho (g)(v)+\beta \rho (g)(w).$$

于是

$$g\cdot (\alpha v+\beta w)=\rho (g)(\alpha v+\beta w)=\alpha \rho (g)(v)+\beta \rho (g)(w)=\alpha (g\cdot v)+\beta (g\cdot w).$$

这是线性作用。

再由 B 推 A。给定线性作用 $\varphi$，对每个 $g\in G$ 定义 $\rho (g):V\to V$ 为

$$\rho (g)(v):=g\cdot v.$$

要说明 $\rho (g)\in GL(V)$，需要两件事：线性，以及可逆。二者来源不同。

线性来自定义 B 的线性公理。对任意 $\alpha ,\beta \in F$ 和 $v,w\in V$，

$$\rho (g)(\alpha v+\beta w)=g\cdot (\alpha v+\beta w)=\alpha (g\cdot v)+\beta (g\cdot w)=\alpha \rho (g)(v)+\beta \rho (g)(w).$$

这正是线性映射的定义，所以 $\rho (g)$ 线性。这里还没有用到 $g$ 可逆。

可逆来自群作用公理，与线性无关。任意群作用都使 $v\mapsto g\cdot v$ 成为集合 $V$ 上的双射，逆映射是 $v\mapsto g^{-1}\cdot v$：

$$\rho (g)(\rho (g^{-1})(v))=g\cdot (g^{-1}\cdot v)=(g{g}^{-1})\cdot v=e\cdot v=v,$$ $$\rho (g^{-1})(\rho (g)(v))=g^{-1}\cdot (g\cdot v)=(g^{-1}g)\cdot v=e\cdot v=v.$$

因此 $\rho (g{)}^{-1}=\rho (g^{-1})$，$\rho (g)$ 是双射。线性映射若可逆，就属于 $GL(V)$，故 $\rho (g)\in GL(V)$。

再由作用的结合性，

$$\rho (g_1{g}_2)(v)=(g_1{g}_2)\cdot v=g_1\cdot (g_2\cdot v)=\rho (g_1)(\rho (g_2)(v)),$$

即 $\rho (g_1{g}_2)=\rho (g_1)\circ \rho (g_2)$。故 $\rho :G\to GL(V)$ 是群同态。

平凡表示：$\rho (g)={\mathrm{id}}_V$ 对一切 $g$ 成立。一维平凡表示常记为 $1$。

2.3. 矩阵表示、维数与忠实性

若 $\dim V=n<\infty$，选定基后，$\rho (g)$ 成为可逆矩阵。此时称 $\rho$ 为 $n$ 维矩阵表示，$n=\dim V$ 称为表示的维数或次数。

同态核 $\ker \rho =\{g\in G:\rho (g)={\mathrm{id}}_V\}$ 是 $G$ 的正规子群。若 $\ker \rho =\{e\}$，即 $\rho$ 单射，则称表示忠实。

2.4. 不变子空间、子表示与商表示

设 $(\rho ,V)$ 是表示。子空间 $W\subseteq V$ 称为 $G$-不变子空间（或不变子空间），如果

$$\forall g\in G,\rho (g)W\subseteq W.$$

这其实等价于更强的等式 $\rho (g)W=W$。

证明

已有 $\rho (g)W\subseteq W$。把同一个条件用在 $g^{-1}$ 上，得 $\rho (g^{-1})W\subseteq W$。两边用 $\rho (g)$ 作用（任意映射都保持包含关系）：

$$\rho (g)(\rho (g^{-1})W)\subseteq \rho (g)W.$$

左边是 $(\rho (g)\circ \rho (g^{-1}))W={\mathrm{id}}_V(W)=W$，故 $W\subseteq \rho (g)W$。两头一夹，

$$\rho (g)W=W.$$

因此 $G$ 把 $W$ 映进自己，实际上是把 $W$ 双射到自己：$\rho (g){|}_W\in GL(W)$。这也是子表示良定义的原因。

Note

不变的是子空间作为集合，不是其中每个向量都不动。即

$$v\in W⟹\rho (g)v\in W,$$

而一般 $\rho (g)v\ne v$。

$\{0\}$ 与 $V$ 永远是不变子空间，称为平凡不变子空间。

2.5. 不可约、可约与完全可约

设 $V\ne \{0\}$。称 $(\rho ,V)$ 不可约，如果 $V$ 中不存在非平凡的 $G$-不变子空间：

$$(\rho ,V)\text{ 不可约}⟺\nexists W\subseteq V,\{0\}⊊W⊊V,\forall g\in G,\rho (g)W\subseteq W.$$

此时也称 $V$ 为不可约表示（irrep）。

若存在非平凡不变子空间，则称表示可约。

称表示完全可约（或半单），如果它同构于不可约表示的直和：

$$V\cong V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_k,$$

每个 $V_i$ 不可约。