群论(二)

前置

• 群论(一)
• 同态映射

定义

• 群同态映射: 称$\varphi :G\to G^{\prime }$为群同态映射，如果$\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$
• 群同构映射: 称$\varphi :G\to G^{\prime }$为群同构映射，如果$\varphi$是群同态映射且$\varphi$是双射。
• 若$H◃G$,则$H$的所有陪集组成的集合记作$G/H$, $(G:H)$表示$G/H$的势。
• 陪集上的二元运算$\ast$: 设$H$是$G$的子群，$a,b\in G$，$aH\ast bH:=(ab)H$, $\ast$运算是良定义的当且仅当$H$是正规子群。
• 设$H◃G$, 若(性质$P$在G中成立 $⟹$ 性质$P$在$G/H$中成立)，$G/H$继承性质$P$

性质

1. 群同态映射把子群映射到子群。即$H\le G\Rightarrow \varphi [H]\le G^{\prime }⟺H\le G\Rightarrow \varphi [H]\le \varphi [G]$
2. 群同态映射的逆像保留逆元的存在性。即$a\in {\varphi }^{-1}[H^{\prime }]\wedge H^{\prime }\le G\Rightarrow a^{-1}\in {\varphi }^{-1}[H^{\prime }]$
3. 群同态映射把子群逆像到子群。即$H^{\prime }\le G^{\prime }\Rightarrow {\varphi }^{-1}[H^{\prime }]\le G$
4. 群同态映射保留把正规子群映射到正规子群。即$H◃G\Rightarrow \varphi [H]◃\varphi [G]$
5. 群同态映射把正规子群逆像到正规子群。即$H^{\prime }◃G^{\prime }\Rightarrow {\varphi }^{-1}[H^{\prime }]◃G$
6. 群同态的核的左陪集等于右陪集，因此可以简称为陪集。
7. 若$\varphi$是一个群同态，则${\varphi }^{-1}[\varphi (a)]=aH=Ha$，其中$H$ 为$\varphi$的核。
8. 群同态是单射 $⟺$ $Ker(\varphi )=e$
9. 群同构映射的逆映射也是群同构映射。
10. $G/N$上的二元运算会继承群的封闭性
11. $G/N$上的二元运算会继承群的结合律
12. $G/N$上的二元运算会继承群的单位元，即$eN=N$是因子群的单位元
13. $G/N$上的二元运算会继承群的逆元，即$(aN{)}^{-1}=a^{-1}N$,所以每个陪集都有逆元
14. 如果 $G$ 上有交换律，则$G/N$上的二元运算也会继承群的交换律
15. $<G/H,\ast >$是一个群
16. $N◃G$,则$\gamma :G\to G/N,\varphi (a)=aN$是群同态映射，$N$为$\gamma$的核。
17. $M$是极大正规子群等价于$G/M$是单群
18. Let $G$ and $G^{\prime }$ be groups, and let $H$ and $H^{\prime }$ be normal subgroups of $G$ and $G^{\prime }$ respectively. Let $\varphi$ be a homomorphism of $G$ into $G^{\prime }$. Then $\varphi$ induces a natural homomorphism ${\varphi }^{\ast }:(G/H)\mapsto (G^{\prime }/H^{\prime }):$ ${\varphi }^{\ast }(aH)=\varphi (a)H^{\prime }$ if $\varphi [H]\subseteq H^{\prime }$. $\varphi [H]\subseteq H^{\prime }$确保了同态映射${\varphi }^{\ast }$的良定义性。
19. $\psi :G\to G^{\prime }$是群同态映射，即$\psi (ab)=\psi (a)\psi (b)$，$H=Ker(\psi )$，则$H$是$G$的一个正规子群。
    定义$\varphi (aH)=\psi (a)$,其中$aH\in G/H$,则$\varphi$是一个是$G/H\to \psi (G)$的一个同构映射
    群同态基本定理：$\gamma (x)=xH$,$\mu (aH)=\varphi (a)$,那么$\varphi (x)=\mu (\gamma (x))$， $\mu$ 被称作自然（natural） 或 经典（canonical）同构映射。$\gamma$ 被称作经典(自然)同态映射。