群论(群列)

前置

$I = {0, 1, 2, \dots, n}$ 是一个有限的指标集

称 $G = {G_{i} ∣ i \in I \land G_{i} \leq G_{i + 1} \land G_{0} = {e} \land G_{n} = G}$ 为 $G$ 的群列(Series of Groups)
称 $G = {G_{i} ∣ i \in I \land G_{i} ◃ G_{i + 1} \land G_{0} = {e} \land G_{n} = G}$ 为 $G$ 的次正规群列(Subnormal Series of Groups)
称 $G = {G_{i} ∣ i \in I \land G_{i} ◃ G \land G_{0} = {e} \land G_{n} = G}$ 为 $G$ 的正规群列(Normal Series of Groups)
若 $G_{1} \subseteq G_{2}$ ，则称 $G_{2}$ 为 $G_{1}$ 的加细(Refinement)
称两个次正规群列 $G = {G_{i}}$ 和 $H = {H_{i}}$ 是同构的，若存在双射 $σ : I \to I$ ，使得 $H_{i} / H_{i - 1} ≅ G_{σ (i)} / G_{σ (i) - 1}$
称群 $G$ 的一个次正规群列 $G = {G_{i}}$ 为合成列(Composition Series)，若 $G_{i + 1} / G_{i}$ 为单群 (即 $G_{i}$ 是 $G_{i + 1}$ 的极大正规子群)
称群 $G$ 的一个正规群列 $G = {G_{i}}$ 为主列(principal series,chief series)，若 $G_{i + 1} / G_{i}$ 为单群(simple group)
称群 $G$ 是可解列，若 $G$ 有一个合成列 $G = {G_{i}}$ ，且 $G_{i + 1} / G_{i}$ 为交换群

(zassenhaus 引理(butterfly lemma)) $H^{*}$ 为 $H$ 的正规子群， $K^{*}$ 为 $K$ 的正规子群，则有 $H^{*} (K \cap H) / H^{*} (H \cap K^{*}) ≅ K^{*} (H \cap K) / K^{*} (H^{*} \cap K) ≅ (H \cap K) / (H^{*} \cap K) (H \cap K^{*})$
对于一个群 $G$ 的任意两个次正规群列，存在一个同构的加细。
Jordan-Hölder 定理：一个群的两个合成列(主列)同构
若 $G$ 有一个合成列(主列)， $N$ 是 $G$ 的正规子群，则 $G$ 有一个包含 $N$ 的合成列(主列)