中心点法采样误差分析

• 1. 假设
• 2. 真实解的泰勒展开（基准）
• 3. 欧拉法的误差阶（对照）
• 4. RK2（中点法）的定义
• 5. 中点速度的泰勒展开
• 6. RK2 更新公式的展开
• 7. 与真实解逐项对比

1. 假设

考虑一阶常微分方程（ODE）：

$$\dot{x}(t)=v(x(t),t),x(t_0)=x_0$$

假设：

• $v(x,t)$ 在 $x,t$ 上足够光滑（至少三阶连续可导）
• 时间步长为 $\Delta t$

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2. 真实解的泰勒展开（基准）

对真实解 $x(t+\Delta t)$ 在 $t$ 点展开：

$$x(t+\Delta t)=x(t)+\Delta t\dot{x}(t)+\frac{\Delta t^2}{2}\ddot{x}(t)+\frac{\Delta t^3}{6}\stackrel{...}{x}(t)+O(\Delta t^4)$$

一阶导数

$$\dot{x}(t)=v(x(t),t)$$

二阶导数

由于 $v$ 同时依赖于 $x$ 和 $t$，而 $x=x(t)$，使用多变量链式法则：

$$\ddot{x}(t)=\frac{d}{dt}v(x(t),t)=v_x(x(t),t)\dot{x}(t)+v_t(x(t),t)$$

代入 $\dot{x}(t)=v(x(t),t)$：

$$\ddot{x}(t)=v_x(x(t),t)v(x(t),t)+v_t(x(t),t)$$

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3. 欧拉法的误差阶（对照）

欧拉法更新公式：

$$x_{\text{Euler}}(t+\Delta t)=x(t)+\Delta tv(x(t),t)$$

局部截断误差

$${\text{LTE}}_{\text{Euler}}=O(\Delta t^2)$$

全局误差，步数 $N=O(1/\Delta t)$，误差累积：

$${\text{Global Error}}_{\text{Euler}}=O(\Delta t)$$

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4. RK2（中点法）的定义

第一步：中点预测

$$x_{\text{mid}}=x(t)+\frac{\Delta t}{2}v(x(t),t)$$ $$t_{\text{mid}}=t+\frac{\Delta t}{2}$$

第二步：中点斜率

$$v_{\text{mid}}=v(x_{\text{mid}},t_{\text{mid}})$$

最终更新

$$x_{\text{RK2}}(t+\Delta t)=x(t)+\Delta t{v}_{\text{mid}}$$

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5. 中点速度的泰勒展开

对 $v(x,t)$ 在点 $(x(t),t)$ 做二阶泰勒展开：

$$\begin{array}{rlr}v(x_{\text{mid}},t_{\text{mid}})& =v(x(t),t)& \\ & +v_x(x(t),t)\left(\frac{\Delta t}{2}v(x(t),t)\right)& +v_t(x(t),t)\left(\frac{\Delta t}{2}\right)\\ & +O(\Delta t^2)& \end{array}$$

整理得：

$$v_{\text{mid}}=v+\frac{\Delta t}{2}(v_{x}v+v_t)+O(\Delta t^2)$$

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6. RK2 更新公式的展开

代入更新公式：

$$\begin{array}{rl}{x}_{\text{RK2}}(t+\Delta t)& =x(t)+\Delta t{v}_{\text{mid}}\\ & =x(t)+\Delta tv+\frac{\Delta t^2}{2}(v_{x}v+v_t)\\ & +O(\Delta t^3)\end{array}$$

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7. 与真实解逐项对比

真实解：

$$x(t+\Delta t)=x(t)+\Delta tv+\frac{\Delta t^2}{2}(v_{x}v+v_t)+\frac{\Delta t^3}{6}\stackrel{...}{x}(t)+O(\Delta t^4)$$

RK2 数值解：

$$x_{\text{RK2}}(t+\Delta t)=x(t)+\Delta tv+\frac{\Delta t^2}{2}(v_{x}v+v_t)+O(\Delta t^3)$$

步数 $N=O(1/\Delta t)$：

$${\text{Global Error}}_{\text{RK2}}=N\cdot \text{LTE}=O(\Delta t^2)$$