四元数与旋转

1. 加法
2. 乘法
3. 单位四元数（Unit Quaternion）
4. 四元数与叉积
5. 四元数与旋转轴—角表示的对应关系
6. 用四元数旋转向量
7. 四元数旋转的组合

集合 $H = {a + bi + c j + d k ∣ a, b, c, d \in R}$ 上定义加法和乘法：

1. 加法

四元数的加法与向量加法一致：

(a_{1} + b_{1} i + c_{1} j + d_{1} k) + (a_{2} + b_{2} i + c_{2} j + d_{2} k) = (a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2}) i + (c_{1} + c_{2}) j + (d_{1} + d_{2}) k

知： $H$ 关于上述加法构成一个交换群。

加法单位元： $0 + 0 i + 0 j + 0 k$
加法逆元： $- a - bi - c j - d k$

2. 乘法

四元数的乘法定义为:

(a_{1} + b_{1} i + c_{1} j + d_{1} k) (a_{2} + b_{2} i + c_{2} j + d_{2} k) = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2} - c_{1} c_{2} - d_{1} d_{2}) + (a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2} + c_{1} d_{2} - d_{1} c_{2}) i + (a_{1} c_{2} - b_{1} d_{2} + c_{1} a_{2} + d_{1} b_{2}) j + (a_{1} d_{2} + b_{1} c_{2} - c_{1} b_{2} + d_{1} a_{2}) k .

乘法的记忆方法： $i^{2} = j^{2} = k^{2} = ijk = - 1, - ij = ij = k, - kj = jk = i, - ik = ki = j$ , 然后按数字的乘法法则拆开括号，得到上面的结果。

四元数乘法可用矩阵乘法表示：
我们可以用实矩阵表示四元数，从而把四元数乘法转化为矩阵乘法，而矩阵乘法已知满足结合律。

例如，将四元数 ( q = a + bi + cj + dk ) 表示为下面的实 ( 4\times4 ) 矩阵：

M (q) = a b c d - b a d - c - c - d a b - d c - b a

可以验证：

M (q_{1} q_{2}) = M (q_{1}) M (q_{2})

于是四元数乘法满足结合律。

也于是四元数乘法对加法满足分配律。

乘法的单位元为 $1 + 0 i + 0 j + 0 k$

乘法逆元为 $\frac{a}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} + d ^{2}} - \frac{b}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} + d ^{2}} i - \frac{c}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} + d ^{2}} j - \frac{d}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} + d ^{2}} k$

(0 + i + 0 j + 0 K) (0 + 0 i + j + 0 K) = (0 + 0 i + 0 j + 1 k)

(0 + 0 i + j + 0 k) (0 + i + 0 j + 0 k) = (0 + 0 i + 0 j - 1 k)

因此乘法不具有交换律

综上， $< H, +, \times >$ 构成一个非交换除环。

3. 单位四元数（Unit Quaternion）

若四元数

q = a + bi + c j + d k

满足

a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 1,

则称 $q$ 为单位四元数。

单位四元数在旋转表示中起核心作用。

4. 四元数与叉积

$q := (a + v) = (a + v_{1} i + v_{2} j + v_{3} k)$

(a_{1} + v_{1}) (a_{2} + v_{2}) = ((a_{1} a_{2} - v_{1} v_{2}) + (a_{1} v_{2} + a_{2} v_{1} + v_{1} \times v_{2}))

(a + b) (0 + v) (a - b) = (- bv + (a v + b \times v)) (a - b) = 0 + (- b v) (- b) + a^{2} v + a b \times v + a v \times (- b) + (b \times v) \times (- b) = 0 + (bv) (b) + a^{2} v + 2 a b \times v + (b \times v) \times (- b) = 0 + (bv) b + a^{2} v + 2 a b \times v + b \times (b \times v) = 0 + (bv) b + a^{2} v + 2 a b \times v + b (vb) - v (bb) = 0 + 2 (bv) b + a^{2} v + 2 a b \times v - v (bb)

5. 四元数与旋转轴—角表示的对应关系

任意三维空间的旋转可由一个单位向量（旋转轴）

n = (n_{x}, n_{y}, n_{z}), ∥ n ∥ = 1

和一个旋转角度 $θ$ 表示。

与之对应的单位四元数为：

q = cos \frac{θ}{2} + (n_{x} i + n_{y} j + n_{z} k) sin \frac{θ}{2} := (cos \frac{θ}{2} + n sin \frac{θ}{2})

6. 用四元数旋转向量

将三维向量 $v = (x, y, z)$ 看作“纯虚四元数”：

v = 0 + x i + y j + z k

根据： $(a + b) (0 + v) (a - b) = 0 + 2 (bv) b + a^{2} v + 2 a b \times v - v (bb)$

q v q^{- 1} = 0 + 2 sin^{2} \frac{θ}{2} (nv) n + (cos^{2} \frac{θ}{2} - sin^{2} \frac{θ}{2}) (v) + 2 cos \frac{θ}{2} sin \frac{θ}{2} (n \times v) = 0 + cos θ v + sin θ (n \times v) + (1 - cos θ) (vn) n

注意到上式与Rodrigues公式一致。因此四元数乘法 $q v q^{- 1}$ 取虚部即可得到旋转后的向量。

若要用单位四元数 $q = a + bi + c j + d k$ 表示的旋转作用在 $v$ 上，则旋转后的向量为：

v^{'} = q v q^{- 1}

其中：

$q^{- 1} = a - bi - c j - d k$ ，因为 $q$ 是单位四元数；
$v^{'}$ 的实部为0，虚部为旋转后的向量。

注意 $(- q) v (- q)^{- 1} = q v q^{- 1}$ , 因此单位四元数两次覆盖了 $SO (3)$

7. 四元数旋转的组合

若有两个旋转：

$q_{1}$ 表示第一次旋转；
$q_{2}$ 表示第二次旋转；

则它们的复合旋转由四元数乘法给出：

q_{合} = q_{2} q_{1}

注意顺序：先应用 $q_{1}$ ，再应用 $q_{2}$ 。

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