事件或事件类的独立性

前置

• 测度论代理

定义

本章恒设 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 是概率空间，如果没有特别声明，本章言及的事件都属于 $\mathcal{F}$， 随机变量都属于 $\mathcal{L}(\Omega ,\mathcal{F})$。

• 定义 13.1
  (i) 称有限多个事件 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 是独立的 (independent)，如果对每个子集 $I\subset \{1,2,\dots ,n\}$ 都有

  $$P\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)=\prod _{i\in I}P(A_i).$$

  (ii) 称一个事件类 $\{A_t,t\in T\}$ 是独立的，如果其中任意有限多个事件都是独立的。

• 定义 13.4

  • (i) 称有限多个事件类 ${\mathcal{A}}_1,{\mathcal{A}}_2,\cdots ,{\mathcal{A}}_n$ 是独立的，如果在每个 ${\mathcal{A}}_i$ 中任取一个成员 $A_i$，事件 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 都是独立的；
  • (ii) 称一族事件类 $\{{\mathcal{A}}_t,t\in T\}$ 是独立的，如果其中任意有限多个事件类都是独立的。 $\square$

性质

1. 若事件 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 独立，则 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 的任意子集都独立。
2. 在有限个事件集合 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 中添加$\Omega$不改变独立性。
3. 在事件类 $\{A_t,t\in T\}$ 中添加$\Omega$不改变独立性。
4. 若事件类 $\{A_t,t\in T\}$ 独立，则 $\{A_s,s\in S\}$ 也独立，其中 $S\subset T$。
5. 定理 13.3 设 $\{A_t,t\in T\}$ 是一个事件类，则下列两条等价：
   (i) $\{A_t,t\in T\}$ 是独立的；
   (ii) $\{B_t,t\in T\}$ 是独立的，其中 $B_t$ 是 $A_t$ 和 $A_t^c$ 中任意一个。
6. 设 $\{{\mathcal{A}}_t,t\in T\}$ 是一族独立事件类，则 $\{{\mathcal{A}}_t,t\in S\}$ 也是独立的，其中 $S\subset T$，即一族独立事件类的任意部分族仍然独立。
7. 在有限个事件类 $\{{\mathcal{A}}_i:i\in I,|I|<\infty \}$ 中添加$\Omega$不改变独立性，即$\{{\mathcal{A}}_i\cup \{\Omega \},i\in I\}$ 的独立性与 $\{{\mathcal{A}}_i,i\in I\}$ 的独立性相同。
8. 在一簇事件类 $\{{\mathcal{C}}_t,t\in T\}$ 中添加$\Omega$不改变独立性，即$\{{\mathcal{C}}_t\cup \{\Omega \},t\in T\}$ 的独立性与 $\{{\mathcal{C}}_t,t\in T\}$ 的独立性相同。
9. 定理 13.5 若 $\{{\mathcal{C}}_t,t\in T\}$ 是一族独立事件类，且诸 ${\mathcal{C}}_t$ 都是 $\pi$ 类，则 $\{\sigma ({\mathcal{C}}_t),t\in T\}$ 也是一族独立事件类.

证明

定理 13.3

设 $\{A_t,t\in T\}$ 是一个事件类，则下列两条等价：
(i) $\{A_t,t\in T\}$ 是独立的；
(ii) $\{B_t,t\in T\}$ 是独立的，其中 $B_t$ 是 $A_t$ 和 $A_t^c$ 中任意一个。

证明：

根据定义 13.1(ii)，证明任意事件类的独立性只需验证其任意有限子集的独立性。因此，不妨设有限个事件 $\{A_1,A_2,\dots ,A_n\}$ 独立，只需证明将其中任意一个事件（如 $A_1$）替换为其对立事件 $A_1^c$ 后，得到的事件类 $\{A_1^c,A_2,\dots ,A_n\}$ 仍保持独立（若此成立，通过有限次重复替换即可将任意子集中的事件替换为其对立事件，进而由 $(B^c{)}^c=B$ 得到 (i) 与 (ii) 的充分必要性）。

设 $I\subset \{2,3,\dots ,n\}$ 为任意非空子集，只需验证以下两个等式：

1. 不包含 $A_1^c$ 的子集：
   由原事件类 $\{A_1,A_2,\dots ,A_n\}$ 的独立性，对任意 $I\subset \{2,\dots ,n\}$，显然有：

$P\left({\bigcap }_{i\in I}{A}_i\right)={\prod }_{i\in I}P(A_i)$

2. 包含 $A_1^c$ 的子集：
   由于 $A_1^c\cap \left({\bigcap }_{i\in I}{A}_i\right)=\left({\bigcap }_{i\in I}{A}_i\right)\setminus \left(A_1\cap \left({\bigcap }_{i\in I}{A}_i\right)\right)$，且 $A_1\cap \left({\bigcap }_{i\in I}{A}_i\right)\subset {\bigcap }_{i\in I}{A}_i$，由概率的可减性可得：

$P\left(A_1^c\cap \left({\bigcap }_{i\in I}{A}_i\right)\right)=P\left({\bigcap }_{i\in I}{A}_i\right)-P\left(A_1\cap \left({\bigcap }_{i\in I}{A}_i\right)\right)$

利用原事件类 $\{A_1,A_2,\dots ,A_n\}$ 的独立性，上式右端化简为：

$\begin{array}{rl}P\left(A_1^c\cap \left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)\right)& =\prod _{i\in I}P(A_i)-P(A_1)\prod _{i\in I}P(A_i)\\ & =(1-P(A_1))\prod _{i\in I}P(A_i)\\ & =P(A_1^c)\prod _{i\in I}P(A_i)\end{array}$

综上所述，任意取自 $\{A_1^c,A_2,\dots ,A_n\}$ 的有限子集都满足概率乘法公式，故 $\{A_1^c,A_2,\dots ,A_n\}$ 独立。

同理，有限次将 $A_k$ 替换为 $A_k^c$（$k=1,2,\dots ,n$）均不改变独立性。因此，(i) 与 (ii) 等价。 $■$

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定理 13.5

设 $\{{\mathcal{C}}_t,t\in T\}$ 是一族独立事件类，且对任意 $t\in T$，${\mathcal{C}}_t$ 都是 $\pi$-类，则 $\{\sigma ({\mathcal{C}}_t),t\in T\}$ 也是一族独立事件类。

证明

第一步：化简与归纳准备

1. 有限化：
   根据事件类独立的定义，要证明一族事件类 $\{\sigma ({\mathcal{C}}_t),t\in T\}$ 独立，只需证明其任意有限子族是独立的。
   设 $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_n\}\subset T$ 为任意有限子集（其中 $n⩾2$），只需证明 $\{\sigma ({\mathcal{C}}_{s_1}),\sigma ({\mathcal{C}}_{s_2}),\dots ,\sigma ({\mathcal{C}}_{s_n})\}$ 独立。

2. 添加全集 $\Omega$：
   对于每个 $t\in T$，令 ${\mathcal{C}}_t^{\prime }={\mathcal{C}}_t\cup \{\Omega \}$。由于添加全集 $\Omega$ 不改变事件类的独立性，且不改变由其生成的 $\sigma$-代数（即 $\sigma ({\mathcal{C}}_t^{\prime })=\sigma ({\mathcal{C}}_t)$），也不改变其 $\pi$-类性质。
   因此，不妨直接假设 $\Omega \in {\mathcal{C}}_t$ 对所有 $t\in T$ 均成立。

注：有了 $\Omega \in {\mathcal{C}}_t$ 后，由于 $P(\Omega )=1$ 且 $A\cap \Omega =A$，从每一个 ${\mathcal{C}}_{s_i}$ 中任取成员 $C_i$ 时，证明“全交集满足乘法公式”等价于证明“任意子集交满足乘法公式”。

第二步：逐步扩张（对每个位置使用 $\pi$-$\lambda$ 定理）

我们将通过 $n$ 次连续的扩张，把每个位置上的 ${\mathcal{C}}_{s_i}$ 依次替换为 $\sigma ({\mathcal{C}}_{s_i})$。

第 1 次扩张：将 ${\mathcal{C}}_{s_1}$ 扩张为 $\sigma ({\mathcal{C}}_{s_1})$

固定任意取定的 $C_i\in {\mathcal{C}}_{s_i}$（$2⩽i⩽n$），定义集合类：

${\mathcal{D}}_1=\left\{A_1\in \mathcal{F}:P\left(A_1\cap \left({\bigcap }_{i=2}^n{C}_i\right)\right)=P(A_1)\cdot {\prod }_{i=2}^{n}P(C_i),\forall C_i\in {\mathcal{C}}_{s_i},2⩽i⩽n\right\}$

我们验证 ${\mathcal{D}}_1$ 的性质：

1. ${\mathcal{C}}_{s_1}\subset {\mathcal{D}}_1$：
   由已知条件 $\{{\mathcal{C}}_t,t\in T\}$ 是独立事件类，对任意 $A_1\in {\mathcal{C}}_{s_1}$ 及 $C_i\in {\mathcal{C}}_{s_i}$ ($i=2,\dots ,n$)，乘法公式显然成立。故 ${\mathcal{C}}_{s_1}\subset {\mathcal{D}}_1$。

2. ${\mathcal{D}}_1$ 是一个 $\lambda$-类：

• (i) 含全集：由于 $\Omega \in \mathcal{F}$，且 $P\left(\Omega \cap \left({\bigcap }_{i=2}^n{C}_i\right)\right)=P\left({\bigcap }_{i=2}^n{C}_i\right)={\prod }_{i=2}^{n}P(C_i)=P(\Omega )\cdot {\prod }_{i=2}^{n}P(C_i)$，故 $\Omega \in {\mathcal{D}}_1$。
• (ii) 对包含差封闭：若 $A,B\in {\mathcal{D}}_1$ 且 $A\subset B$，令 $C={\bigcap }_{i=2}^n{C}_i$，则 $(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus (A\cap C)$。由概率的可减性：

$\begin{array}{rl}P((B\setminus A)\cap C)& =P(B\cap C)-P(A\cap C)\\ & =P(B)\prod _{i=2}^{n}P(C_i)-P(A)\prod _{i=2}^{n}P(C_i)\\ & =(P(B)-P(A))\prod _{i=2}^{n}P(C_i)=P(B\setminus A)\prod _{i=2}^{n}P(C_i)\end{array}$

故 $B\setminus A\in {\mathcal{D}}_1$。

• (iii) 对单调递增极限封闭：设 $A_k\in {\mathcal{D}}_1$ 且 $A_k\uparrow A$，由概率的连续性：

$\begin{array}{rl}P(A\cap C)=\underset{k\to \infty }{\lim }P(A_k\cap C)& =\underset{k\to \infty }{\lim }\left(P(A_k)\prod _{i=2}^{n}P(C_i)\right)\\ & =\left(\underset{k\to \infty }{\lim }P(A_k)\right)\prod _{i=2}^{n}P(C_i)=P(A)\prod _{i=2}^{n}P(C_i)\end{array}$

故 $A\in {\mathcal{D}}_1$。

因为 ${\mathcal{C}}_{s_1}$ 是 $\pi$-类且 ${\mathcal{D}}_1$ 是 $\lambda$-类，由 $\pi$-$\lambda$ 定理（单调类定理），有：

$\sigma ({\mathcal{C}}_{s_1})\subset {\mathcal{D}}_1$

这表明事件类 $\{\sigma ({\mathcal{C}}_{s_1}),{\mathcal{C}}_{s_2},\dots ,{\mathcal{C}}_{s_n}\}$ 是独立的。

第 2 次扩张：将 ${\mathcal{C}}_{s_2}$ 扩张为 $\sigma ({\mathcal{C}}_{s_2})$

固定任意 $A_1\in \sigma ({\mathcal{C}}_{s_1})$ 及任意 $C_i\in {\mathcal{C}}_{s_i}$ ($3⩽i⩽n$)，定义集合类：

${\mathcal{D}}_2=\left\{A_2\in \mathcal{F}:P\left(A_1\cap A_2\cap \left({\bigcap }_{i=3}^n{C}_i\right)\right)=P(A_1)P(A_2)\cdot {\prod }_{i=3}^{n}P(C_i)\right\}$

完全同理可证明：

1. ${\mathcal{C}}_{s_2}\subset {\mathcal{D}}_2$（由第 1 次扩张的结果）；

2. ${\mathcal{D}}_2$ 是一个 $\lambda$-类。

由 $\pi$-$\lambda$ 定理，推得 $\sigma ({\mathcal{C}}_{s_2})\subset {\mathcal{D}}_2$。
这表明事件类 $\{\sigma ({\mathcal{C}}_{s_1}),\sigma ({\mathcal{C}}_{s_2}),{\mathcal{C}}_{s_3},\dots ,{\mathcal{C}}_{s_n}\}$ 是独立的。

后续归纳扩张

重复上述过程，依次构造 ${\mathcal{D}}_3,{\mathcal{D}}_4,\dots ,{\mathcal{D}}_n$，经过 $n$ 步扩张后，最终得到：
$\{\sigma ({\mathcal{C}}_{s_1}),\sigma ({\mathcal{C}}_{s_2}),\dots ,\sigma ({\mathcal{C}}_{s_n})\}$ 是独立的。

第三步：总结结论

由于有限子集 $S=\{s_1,\dots ,s_n\}\subset T$ 是任意选择的，根据定义 13.4，一族事件类 $\{\sigma ({\mathcal{C}}_t),t\in T\}$ 是独立的。 $■$