商拓扑

商拓扑

对于一个拓扑空间$(X,\tau )$,$X$上的一个等价关系$\sim$，$X/\sim$为所有等价类组成的集合。

定义映射$\pi :X\to X/\sim ,\pi (x)=[x]$

定义集合${\tau }^{\prime }=\{U\subseteq X/\sim \mid {\pi }^{-1}(U)\in \tau \}$

集合${\tau }^{\prime }$有以下性质

• $\varnothing \in {\tau }^{\prime }$,$X/\sim \in {\tau }^{\prime }$
• ${\tau }^{\prime }$中任意并仍在${\tau }^{\prime }$中,因为${\pi }^{-1}({\bigcup }_{i\in I}{U}_i)={\bigcup }_{i\in I}{\pi }^{-1}(U_i)\in \tau$
• ${\tau }^{\prime }$中有限交仍在${\tau }^{\prime }$中,因为${\pi }^{-1}({\bigcap }_{i=1}^n{U}_i)={\bigcap }_{i=1}^n{\pi }^{-1}(U_i)\in \tau$

因此，$(X/\sim ,{\tau }^{\prime })$是$X/\sim$上的拓扑，称为$X$上的商拓扑(quotient topology)。简记为$X/\sim$。

根据定义，$\pi$是连续映射，因为商空间中开集的逆像是原空间的开集。

商空间上的诱导映射,设 $\sim$ 是拓扑空间 $S$ 上的等价关系，$S/\sim$ 为商拓扑。假设函数 $f:S\to Y$ 是从 $S$ 到另一个拓扑空间 $Y$ 的映射，且在每个等价类上是常值函数。则它诱导( induced )出映射 $\bar{f}:S/\sim \to Y$，定义为：

$$\bar{f}([p])=f(p)\text{for }p\in S.$$

An equivalence relation $\sim$ on a topological space $S$ is said to be open if the projection map $\pi :S\to S/\sim$ is open.

性质

$\text{Proposition}$ The induced map $\overline{f}:S/\sim \to Y$ is continuous if and only if the map $f:S\to Y$ is continuous.

$\text{Proposition}$ If the quotient space $S/\sim$ is Hausdorff, then the equivalence class $[p]$ of any point $p$ in $S$ is closed in $S$. 证明：因为Hausdorff一定是T1空间，一个等价类是一个单点集，所以是闭集，又因为$\pi$是连续映射，所以等价类是闭集。

$\text{Theorem}$ Suppose $\sim$ is an open equivalence relation on a topological space $S$. Then the quotient space $S/\sim$ is Hausdorff if and only if the graph $R$ of $\sim$ is closed in $S\times S$.

$\text{Theorem}$ Let $\sim$ be an open equivalence relation on a topological space $S$ with projection $\pi :S\to S/\sim$. If $B=\{B_{\alpha }\}$ is a basis for $S$, then its image $\{\pi (B_{\alpha })\}$ under $\pi$ is a basis for $S/\sim$. 证明:因为$\pi$是开映射和连续映射，所以$\pi$是同胚映射，同胚映射将基映射为基。

$\text{Corollary}$ If $\sim$ is an open equivalence relation on a second-countable space $S$, then the quotient space $S/\sim$ is second countable. 因为同胚映射保留第二可数性。