Lebesgue-Stieltjes测度

本节利用(Caratheodory)测度扩张定理构造${\mathbb{R}}^d$上的Lebesgue-Stieltjes测度。

Prerequisites

• measure

定义

设$F:{\mathbb{R}}^d\to \mathbb{R},\mathbf{e}:=(1,1,\cdots ,1)\in {\mathbb{R}}^d,C(F):=\{x\in {\mathbb{R}}^d\mid F\text{在}x\text{处连续}\}$

$F$在点$\mathbf{x}$处连续，等价于$\forall ϵ>0,\exists \delta >0,\forall \mathbf{y},\mathbf{x}-\delta \mathbf{e}<\mathbf{y}<\mathbf{x}+\delta \mathbf{e},d(F(\mathbf{x}),\mathbf{y})<ϵ$

• 称$F$在$\mathbf{x}$处上连续，若$\forall ϵ>0,\exists \delta >0,\forall \mathbf{y},\mathbf{x}<\mathbf{y}<\mathbf{x}+\delta \mathbf{e},d(F(\mathbf{x}),\mathbf{y})<ϵ$

• 称$F$在$\mathbf{x}$处下连续，若$\forall ϵ>0,\exists \delta >0,\forall \mathbf{y},\mathbf{x}-\delta \mathbf{e}<\mathbf{y}<\mathbf{x},d(F(\mathbf{x}),\mathbf{y})<ϵ$

• 称$F:{\mathbb{R}}^d\to \mathbb{R}$为Lebesgue-Stieltjes函数(L-S函数)，若

• $F$ 处处上连续

• $F$ 在任意矩形$(\mathbf{a},\mathbf{b}]$上具有非负增量,即

  $${\Delta }_{(\mathbf{a},\mathbf{b}]}F:=\sum _{ϵ\in \{0,1{\}}^d}(-1{)}^{\#(ϵ=0)}F(\mathbf{a}+ϵ(\mathbf{b}-\mathbf{a}))\ge 0$$

  $\#(ϵ=0)$表示$ϵ$中$0$的个数。

${\mu }_F:={\Delta }_{(\mathbf{a},\mathbf{b}]}F$

$\mathcal{E}:=\{(\mathbf{a},\mathbf{b}]\mid \mathbf{a},\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^d\}$，$\mathcal{E}$是${\mathbb{R}}^d$上的一个半环。

• 称$F$为分布函数(distribution function, d.f.)，若$F$是Lebesgue-Stieltjes函数(L-S函数)。且还满足以下三个条件：

• $F$ 单调不减：$\mathbf{x}\le \mathbf{y}⟹F(\mathbf{x})\le F(\mathbf{y})$

• $\forall i\in [d],F(x_1,\cdots ,x_{i-1},-\infty ,x_{i+1},\cdots ,x_d):=\underset{x_i\to -\infty }{\lim }(x_1,\cdots ,x_{i-1},x_i,x_{i+1},\cdots ,x_d)=0$

• $F(+\infty ):=\underset{\mathbf{x}\to +\infty }{\lim }F(\mathbf{x})=1$, 即$\forall ϵ>0,\exists M>0,s.t.\forall i\in [d],x_i>M,|F(\mathbf{x})-1|<ϵ$

• 称$F$为准分布函数(quasi-distribution function, q.d.f.)，若存在 d.f. $G$, s.t. $F(\mathbf{x})={\sigma }^{2}G(\mathbf{x})$，其中${\sigma }^2>0$

设$\mu$为$\mathcal{B}({\mathbb{R}}^d)$上的一个$\sigma$-有限测度，称$\mu$为Lebesgue-Stieltjes测度,若对于${\mathbb{R}}^d$上的任意有限区间(矩形)$I$，都有$\mu (I)<+\infty$.

$\mu (\mathbf{I})$可简记为$\mu \mathbf{I}$,例如$\mu ((\mathbf{a},\mathbf{b}])=\mu (\mathbf{a},\mathbf{b}]$

设$\mu$是$({\mathbb{R}}^d,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^d))$上的一个有限测度，$A\in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^d),a\in {\mathbb{R}}^d,I\subseteq {\mathbb{R}}^d$为区间,定义如下三个概念：

• 若$\mu (\partial A)=0$,则称$A$为$\mu$连续集
• 若$I$为$\mu$连续集，则称$I$为$\mu$连续区间
• 若$(-\infty ,\mathbf{a}]$为连续区间，则称$\mathbf{a}$为$\mu$连续点，$\mu$连续点的全体记作$C(\mu )$

$F_i:=F\left(\underset{i-1}{\underbrace{+\infty ,+\infty ,...,+\infty }},x_i,\underset{d-i}{\underbrace{+\infty ,+\infty ,...,+\infty }}\right)$,可以得知$F_i$为$\mathbb{R}$上的q.d.f., 且${\mu }_{F_i}={\mu }_F\circ {\pi }_i^{-1}$

性质

1. ${\mu }_F$是$\mathcal{E}$上的一个有限可加测度。
2. 上连续函数的(实系数)线性组合为上连续函数。
3. ${\mu }_F$在$\mathcal{E}$上的具有可列次可加性。
4. ${\mu }_F$在$\mathcal{E}$上的测度
5. ${\mu }_F$可以唯一地扩张成$\mathcal{B}({\mathbb{R}}^d)$上的$\sigma$-有限测度。称${\mu }_F$为$F$诱导的Lebesgue-Stieltjes测度。
6. 设$\mu$为$\mathcal{B}({\mathbb{R}}^d)$上的一个L-S 测度，则存在${\mathbb{R}}^d$上的L-S函数$F$(但不唯一)，使得由$F$诱导的测度恰好为$\mu$,i.e. ${\mu }_F=\mu$.
7. $\mathcal{B}({\mathbb{R}}^d)$上的有限测度与${\mathbb{R}}^d$上的q.d.f. 之间依 ${\mu }_F((\mathbf{a},\mathbf{b}]={\Delta }_{(\mathbf{a},\mathbf{b}]}F$ 一一对应。
8. 用${\mu }_F$表示q.d.f. $F$诱导的L-S测度，则${\mu }_F(-\infty ,\mathbf{x}]=F(\mathbf{x})$
9. 若区间$I$的每个顶点都是$\mu$连续点，则$I$为$\mu$连续区间。因为${\bigcup }_{ϵ\in \{0,1{\}}^d}\partial (-\infty ,\mathbf{a}+ϵ(\mathbf{b}-\mathbf{a})]\supseteq \partial (\mathbf{a},\mathbf{b}]$.
10. 设$F$是${\mathbb{R}}^d$上的q.d.f. ,${\mu }_F$是$F$诱导的$(\mathbb{R},\mathcal{B}({\mathbb{R}}^d))$上的有限测度，$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^d$， 则$x\in C(F)⟺x\in C({\mu }_F)$
11. 设$F$是${\mathbb{R}}^d$上的q.d.f.，$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_d)$，若诸$x_i$都为$F_i$的连续点，则$\mathbf{x}$为$F$的连续点。

证明

1.

${\mu }_F$是$\mathcal{E}$上的一个有限可加测度。

只需证明有限可加性，即若${\mathbf{I}}^{(i)}:=({\mathbf{a}}^{(i)},{\mathbf{b}}^{(i)}],i\in [m]$两两不交，且${\bigcup }_{i=1}^m{\mathbf{I}}^{(i)}:=\mathbf{I}=(\mathbf{a},\mathbf{b}]\in \mathcal{E}$，则

$${\mu }_F(\mathbf{I})=\sum _{i=1}^m{\mu }_F({\mathbf{I}}^{(i)})$$

$m=2$ 时
$(\mathbf{a},\mathbf{b}]={\bigcup }_{i=1}^2({\mathbf{a}}^{(i)},{\mathbf{b}}^{(i)}]$
不妨设包含$\mathbf{b}$的矩形为${\mathbf{I}}^{(1)}=({\mathbf{a}}^{(1)},{\mathbf{b}}^{(1)}]=\left((a_1^{(1)},a_2^{(1)},\cdots ,a_d^{(1)}),(b_1,b_2,\cdots ,b_d)\right]$,

则${\mathbf{a}}^{(1)}$一定不等于$\mathbf{a}$.
因此存在$k\in [d]$,使得$a_k<a_k^{(1)}:=c$

则${\mathbf{a}}^{(1)}$一定等于$(a_1,\cdots ,a_{k-1},c,a_{k+1},\cdots ,a_d)$, 即${\mathbf{I}}^{(1)}=\left((a_1,a_2,\cdots ,c,\cdots ,a_d),\mathbf{b}\right]$, ${\mathbf{I}}^{(2)}=\left(\mathbf{a},(b_1,b_2,\cdots ,c,\cdots ,b_d)\right]$
为什么呢？

这里先给一个显然的引理：
Lemma 1: 空间中任意两个点$\mathbf{a},\mathbf{b}$可以确定一个矩形$\mathbf{I}:=\left(\min (\mathbf{a},\mathbf{b}),\max (\mathbf{a},\mathbf{b})\right]$,其中$\min$和$\max$都是逐元素取最小和最大。若$\mathbf{a},\mathbf{b}$都属于某个矩形$(\mathbf{c},\mathbf{d}]$，则$\mathbf{I}\subseteq (\mathbf{c},\mathbf{d}]$. 更一般地， $({\mathbf{a}}^{(i)}{)}_{i=1}^n$可以确定一个矩形$\mathbf{I}:=({\min }_i({\mathbf{a}}^{(i)}),{\max }_i({\mathbf{a}}^{(i)}))]$, 若每个${\mathbf{a}}^{(i)}$都属于某个矩形$(\mathbf{c},\mathbf{d}]$, 则$\mathbf{I}\subseteq (\mathbf{c},\mathbf{d}]$

易知：${\mathbf{I}}^{(1)}\subseteq \left((a_1,a_2,\cdots ,c,\cdots ,a_d),\mathbf{b}\right]$

若$\left((a_1,a_2,\cdots ,c,\cdots ,a_d),\mathbf{b}\right]$中包含${\mathbf{I}}^{(2)}$中的点$\mathbf{t}:=(t_1,t_2,\cdots ,t_d)$。

知：$\forall i\in [d],a_i<t_i\le b_i\wedge c<t_k$

知：$\mathbf{a}\in {\mathbf{I}}^{(2)}$

根据Lemma 1，有$\mathbf{x}:=(b_1,b_2,\cdots ,b_{k-1},t_k,b_{k+1},\cdots ,b_d)\in {\mathbf{I}}^{(2)}$

又知，$\mathbf{x}\in {\mathbf{I}}^{(1)}$

与${\mathbf{I}}^{(1)}\cap {\mathbf{I}}^{(2)}=\varnothing$矛盾。

不难证明${\mu }_F$在$m=2$时的有限可加性。

设$m=k-1$是${\mu }_F$在$\mathcal{E}$上具有有限可加性。
要证$m=k$时，${\mu }_F$在$\mathcal{E}$上也具有有限可加性。

这里需要再给一个引理
Lemma 2: 若一个矩形$(\mathbf{a},\mathbf{b}]$可以被$m\ge 2$个两两不交的矩形${\mathbf{I}}^{(i)}:=({\mathbf{a}}^{(i)},{\mathbf{b}}^{(i)}],i\in [m]$覆盖，则存在矩形$U,V$,$U\cap V=\varnothing \wedge U\cup V=(\mathbf{a},\mathbf{b}]$,且$U$和$V$中都分别包含至少一个矩形$({\mathbf{a}}^{(i)},{\mathbf{b}}^{(i)}]$

Lemma 2的证明如下：
还是设包含$\mathbf{b}$的矩形为${\mathbf{I}}^{(1)}=({\mathbf{a}}^{(1)},{\mathbf{b}}^{(1)}]$
则${\mathbf{I}}^{(1)}\subseteq ({\mathbf{y}}_j,\mathbf{b}]:={\mathbf{J}}^{(j)},\forall j\in [d]$, 其中${\mathbf{y}}_j$为将$\mathbf{a}$的第$j$个分量替换为${\mathbf{a}}^{(1)}$的第$j$个分量得到的。
另任取一个不同于${\mathbf{I}}^{(1)}$的矩形，不妨为${\mathbf{I}}^{(2)}=({\mathbf{a}}^{(2)},{\mathbf{b}}^{(2)}]$，则一定存在$l$，使得${\mathbf{I}}^{(2)}\subseteq {\mathbf{J}}^{(l)}$, 否则${\mathbf{I}}^{(2)}$与${\mathbf{I}}^{(1)}$的交集将不为空。
Q.E.D.

根据Lemma 2, 存在矩形$U,V$,$U\cap V=\varnothing \wedge U\cup V=(\mathbf{a},\mathbf{b}]$,且$U$和$V$中都分别包含至少一个矩形$({\mathbf{a}}^{(i)},{\mathbf{b}}^{(i)}]$, 不妨设$U$中包含${\mathbf{I}}^{(1)}$，$V$中包含${\mathbf{I}}^{(2)}$

$$\begin{array}{rl}{\mu }_F(\mathbf{I})& ={\mu }_F(\mathbf{I}\cap (U\cup V))\\ & ={\mu }_F(\mathbf{I}\cap U)+{\mu }_F(\mathbf{I}\cap V)\\ & ={\mu }_F(\bigcup _{i=1}^m{\mathbf{I}}^{(i)}\cap U)+{\mu }_F(\bigcup _{i=1}^m{\mathbf{I}}^{(i)}\cap V)\\ & ={\mu }_F(\bigcup _{i=1,i\ne 2}^m{\mathbf{I}}^{(i)}\cap U)+{\mu }_F(\bigcup _{i=2}^m{\mathbf{I}}^{(i)}\cap V)\\ & =\sum _{i=1,i\ne 2}^m{\mu }_F({\mathbf{I}}^{(i)}\cap U)+\sum _{i=2}^m{\mu }_F({\mathbf{I}}^{(i)}\cap V)\\ & =\sum _{i=1}^m{\mu }_F({\mathbf{I}}^{(i)})\end{array}$$

Q.E.D.

2.

从L-S 测度到 L-S 函数：设$\mu$为$\mathcal{B}({\mathbb{R}}^d)$上的一个L-S 测度，则存在${\mathbb{R}}^d$上的L-S函数$F$(但不唯一)，使得由$F$诱导的测度恰好为$\mu$,i.e. ${\mu }_F=\mu$.

定义$F:=(-1{)}^{\#(\mathbf{x}<\mathbf{c})}\mu \left((\min (\mathbf{x},\mathbf{c}),\max (\mathbf{x},\mathbf{c})]\right)$,其中$\min$和$\max$都是逐元素取最小和最大。#表示$\mathbf{x}<\mathbf{c}$的元素(分量)个数。

$${\Delta }_{(\mathbf{a},\mathbf{b}]}F=\sum _{ϵ\in \{0,1{\}}^d}(-1{)}^{\#(ϵ=0)}F({\mathbf{x}}^{ϵ}),{\mathbf{x}}^{ϵ}=\mathbf{a}+ϵ(\mathbf{b}-\mathbf{a})$$

证明：

下面只证明$F$有非负增量，即${\Delta }_{(\mathbf{a},\mathbf{b}]}F\ge 0$。

将$\mu ((\min (\mathbf{x},\mathbf{y}),\max (\mathbf{x},\mathbf{y})])$简记为$\mu \{\mathbf{x},\mathbf{y}\}$

我们只需证明如下等式(后文称下式为L-S测度幂分解公式)：

$$\begin{array}{r}\mu ((\mathbf{a},\mathbf{b}])=\sum _{ϵ\in \{0,1{\}}^d}(-1{)}^{\#(ϵ=0)}(-1{)}^{\#({\mathbf{x}}^{ϵ}<\mathbf{c})}\mu \{\mathbf{a}+ϵ(\mathbf{b}-\mathbf{a}),\mathbf{c}\}\end{array}$$

首先对于$\mathcal{B}(\mathbb{R})$上的测度，容易验证上式成立。示意图如下，$\pm$的部分被抵消掉。

对与$d$维情况，我们需要先发现如下事实：一个$\mathcal{B}({\mathbb{R}}^d)$上的测度，固定其中$d-1$个分量，则以剩下的一个分量为变量的函数为$\mathcal{B}(\mathbb{R})$上的测度。形式化地，若$\mu$为$\mathcal{B}({\mathbb{R}}^d)$上的测度，则${\mu }_{\mathbf{a},\mathbf{b}}^{(i)}((x,y]):=\mu (((a_1,a_2,\cdots ,a_{i-1},x,a_{i+1},\cdots ,a_d),(b_1,b_2,\cdots ,b_{i-1},y,b_{i+1},\cdots ,b_d)])$为$\mathcal{B}(\mathbb{R})$上的测度。

然后对$1,2,3,\cdots ,d$维依次累计使用一维的L-S测度幂分解公式，即可得到$d$维的L-S测度幂分解公式。

3.

$\mathcal{E}:=\{(\mathbf{a},\mathbf{b}]\mid \mathbf{a},\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^d\}$，$\mathcal{E}$是${\mathbb{R}}^d$上的一个半环。其中的元素被称作矩形。
若${\mathbf{I}}^{(i)}:=({\mathbf{a}}^{(i)},{\mathbf{b}}^{(i)}],i\in [m]$两两不交，且${\bigcup }_{i=1}^m{\mathbf{I}}^{(i)}:=\mathbf{I}=(\mathbf{a},\mathbf{b}]\in \mathcal{E}$

$\forall k\in [d],D_k:=\{c\mid \exists i\text{ s.t. }c=b_k^{(i)}\}$

谬论：存在$k\in [d]$，使得$\exists c_k\in D_k$, 使得超平面$x_k=c_k$将${\mathbf{I}}^{(i)}$分成两组，且两组集合中没有矩形跨越这个超平面。

反例如下：