前置
定义
- 设T为指标集，{(Et,Et)∣t∈T}为一族可测空间, 令 ∏t∈TEt 为这族空间的积空间，πt:∏t∈TEt→Et为投影映射。称使得所有投影映射 πt 都可测的最小 σ-代数 ⨂t∈TEt:=σ(⋃t∈Tσ(πt)):=σ(⋃t∈Tπ−1(Et)) 为积空间 ∏t∈TEt 上的 乘积σ-代数（当所有 Et=E,Et=E 时，简记为 E⊗T）。
性质
- 积 σ-代数的泛性质（universal property）。
设 (Ω,F) 为可测空间，Y:Ω→∏t∈TEt 为一个映射。
则 Y 是 F/(⨂t∈TEt)-可测的，当且仅当对所有的 t∈T，复合映射 πt∘Y:Ω→Et 都是 F/Et-可测的。
性质 1 的证明
必要性（⇒）
已知：Y:Ω→∏t∈TEt 是 F/(⨂t∈TEt)-可测的。
根据乘积 σ-代数的定义，对任意固定的 t∈T，坐标投影映射 πt:∏s∈TEs→Et 是 (⨂s∈TEs)/Et-可测的。
因为两个可测映射的复合映射仍为可测映射，所以复合映射：
πt∘Y:Ω→Et
是 F/Et-可测的。
充分性（⇐）
已知：对所有的 t∈T，复合映射 πt∘Y:Ω→Et 都是 F/Et-可测的。
令 C 为定义中乘积 σ-代数的生成元集：
C=⋃t∈T{πt−1(Bt)∣Bt∈Et}
根据定义，⨂t∈TEt=σ(C)。要证明 Y 可测，只需证明对任意 A∈C，皆有 Y−1(A)∈F。
任取 A∈C，则存在某个特定的 t0∈T 以及 Bt0∈Et0，使得 A=πt0−1(Bt0)。
考虑 A 在 Y 下的原像：
Y−1(A)=Y−1(πt0−1(Bt0))=(πt0∘Y)−1(Bt0)
由已知条件，πt0∘Y 是 F/Et0-可测的。因为 Bt0∈Et0，所以其原像必属于 F：
Y−1(A)=(πt0∘Y)−1(Bt0)∈F
由于 Y−1(C)⊆F，由 σ-代数原像的性质，其生成的 σ-代数同样满足包含关系：
Y−1(⨂t∈TEt)=Y−1(σ(C))=σ(Y−1(C))⊆F
即 Y 是 F/(⨂t∈TEt)-可测的。 ■