绝对连续与Radon-Nikodým定理

前置

• 符号测度

定义

• 设 $\nu ,\phi$ 都是 $\mathcal{F}$ 上的符号测度.
  • 如果对满足关系式 $|\phi |(A)=0$ 的每个 $A\in \mathcal{F}$, 都有 $\nu (A)=0$, 那么称 $\nu$ 关于 $\phi$ 绝对连续 (absolutely continuous), 记作 $\nu \ll \phi$;
  • 如果 $\nu \ll \phi$, 且 $\phi \ll \nu$, 那么称 $\nu$ 与 $\phi$ 等价 (equivalent), 记作 $\nu \sim \phi$.
• 称$\nu (A)={\int }_{A}f\mathrm{d}\mu$ 中的 $f$ 为 $\nu$ 关于 $\mu$ 的 Radon-Nikodým 导数 (Radon-Nikodým derivative), 记作 $\frac{\mathrm{d}\nu }{\mathrm{d}\mu }$, 即 $f=\frac{\mathrm{d}\nu }{\mathrm{d}\mu }$, 因而 $\nu (A)={\int }_{A}f\mathrm{d}\mu$ 可以改写为
  $\nu (A)={\int }_A\frac{\mathrm{d}\nu }{\mathrm{d}\mu }\mathrm{d}\mu ,\forall A\in \mathcal{F}.$
  此外, 若 $\nu$ 有限, 知 $f$ a.e. 有限。

性质

1. 设 $\nu ,\phi$ 为 $\mathcal{F}$ 上二符号测度, 则下列各条等价:
   (i) $\nu \ll \phi$;
   (ii) ${\nu }^{+}\ll \phi$, 且 ${\nu }^{-}\ll \phi$;
   (iii) $|\nu |\ll |\phi |$.

2. 设 $\nu ,\phi$ 为 $\mathcal{F}$ 上二符号测度, 其中 $\nu$ 有限, 则 $\nu \ll \phi$ 当且仅当 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$, 只要 $A\in \mathcal{F}$ 满足 $|\phi |(A)<\delta$, 就有 $|\nu |(A)<\epsilon$.

3. 设 $\nu$ 和 $\mu$ 都是 $\mathcal{F}$ 上的有限测度, $\nu \ll \mu$, 且 $\nu \ne 0$, 则存在某个 $\epsilon >0$ 和 $A\in \mathcal{F}$, 使得 $\mu (A)>0$ 且 $A$ 是符号测度 $\nu -\epsilon \mu$ 的正集.

4. 设 $\nu$ 和 $\mu$ 都是 $\mathcal{F}$ 上的测度, 令

   $$\mathcal{H}=\left\{f\in {\overline{\mathcal{L}}}^{+}(\Omega ,\mathcal{F}):\text{对任意的 }A\in \mathcal{F}\text{ 都有 }{\int }_{A}f\mathrm{d}\mu ⩽\nu (A)\right\}$$

   则
   (i) $\mathcal{H}$ 非空;
   (ii) 对任意的 $\{f_n,n⩾1\}\subset \mathcal{H}$, 都有 ${\sup }_{n⩾1}{f}_n\in \mathcal{H}$;
   (iii) 存在 $f\in \mathcal{H}$, 使得 ${\int }_{\Omega }f\mathrm{d}\mu =\alpha$, 其中
   $\alpha =\sup \left\{{\int }_{\Omega }g\mathrm{d}\mu :g\in \mathcal{H}\right\}.$

5. 定理 8.21 (Radon-Nikodým 定理) 设 $\mu$ 为 $\mathcal{F}$ 上的 $\sigma$-有限测度.

   1. 若 $\nu$ 是 $\mathcal{F}$ 上 $\sigma$-有限的符号测度, $\nu \ll \mu$, 则存在一个 $\mu \text{-a.e.}$ 有限的且关于 $\mu$ 积分存在的 $f\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$, 使得
      $\nu (A)={\int }_{A}f\mathrm{d}\mu ,A\in \mathcal{F}$
      另外, 上述 $f$ 在等价意义下是唯一的, 即若 $f,g$ 都满足上述等式, 则 $f=g\mu \text{-a.e.}$
   2. 若存在一个关于 $\mu$ 可积的函数 $f$ 使上述等式成立, 则 $\nu$ 是 $\mathcal{F}$ 上 $\sigma$-有限的符号测度, 且 $\nu \ll \mu$.

6. 定理 8.22 (Radon-Nikodým 定理的推广) 设 $\mu$ 为 $\mathcal{F}$ 上的 $\sigma$-有限测度, $\nu$ 是 $\mathcal{F}$ 上的符号测度 (不必 $\sigma$-有限). 若 $\nu \ll \mu$, 则存在一个在 $\mu \text{-a.e.}$ 意义下唯一的, 且关于 $\mu$ 的积分存在 (不必 $\mu \text{-a.e.}$ 有限) 的广义实值可测函数 $f$ 使

   $$\nu (A)={\int }_{A}f\mathrm{d}\mu ,A\in \mathcal{F}$$

   成立.

7. 习题8.20 设 $(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$ 为测度空间, $f\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$ 关于 $\mu$ 的积分存在, $\nu =f\cdot \mu$.
   则 $\frac{\mathrm{d}{\nu }^{+}}{\mathrm{d}\mu }=f^{+}\mu \text{-a.e.}$, $\frac{\mathrm{d}{\nu }^{-}}{\mathrm{d}\mu }=f^{-}\mu \text{-a.e.}$

8. 推论 8.24 设 $\mu$ 为 $\mathcal{F}$ 上的 $\sigma$-有限测度, $\nu$ 为 $\mathcal{F}$ 上的符号测度, $g\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$. 若 $\nu \ll \mu$, 则 $g$ 关于 $\nu$ 的积分存在当且仅当 $g\frac{\mathrm{d}\nu }{\mathrm{d}\mu }$ 关于 $\mu$ 的积分存在, 此时有

   $${\int }_{A}g\mathrm{d}\nu ={\int }_A\left(g\frac{\mathrm{d}\nu }{\mathrm{d}\mu }\right)\mathrm{d}\mu ,\forall A\in \mathcal{F}.$$

9. 推论 8.25 (链式法则) 设 $\mu$ 和 $\nu$ 都是 $\mathcal{F}$ 上的 $\sigma$-有限测度, $\phi$ 为 $\mathcal{F}$ 上的符号测度. 若 $\phi \ll \nu ,\nu \ll \mu$, 则
   $\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}\mu }=\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}\nu }\cdot \frac{\mathrm{d}\nu }{\mathrm{d}\mu }\mu \text{-a.e..}$