测度

Prerequisites

• class-of-sets

广义实值集函数(extended real-valued set function)

定义

设$\mathcal{E}$为$\Omega$上的集类，则称$\mu :\mathcal{E}\to \overline{\mathbb{R}}$为广义实值集函数。

• 有限可加性：$\forall A_1,A_2,\cdots ,A_n\in \mathcal{E}\wedge A_i\cap A_j=\varnothing ,i\ne j$，则$\mu \left({⨄}_{i=1}^n{A}_i\right)={\sum }_{i=1}^n\mu (A_i)$
• 可列可加性：$\forall A_1,A_2,\cdots \in \mathcal{E}\wedge A_i\cap A_j=\varnothing ,i\ne j$，则$\mu \left({⨄}_{i=1}^{\infty }{A}_i\right)={\sum }_{i=1}^{\infty }\mu (A_i)$
• 有限次可加性：$\forall A,A_1,A_2,\cdots ,A_n\in \mathcal{E}\wedge A\subseteq {\bigcup }_{i=1}^n{A}_i$，则$\mu (A)\le {\sum }_{i=1}^n\mu (A_i)$
• 可列次可加性：$\forall A,A_1,A_2,\cdots \in \mathcal{E}\wedge A\subseteq {\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i$，则$\mu (A)\le {\sum }_{i=1}^{\infty }\mu (A_i)$
• $\mu$在$\varnothing$处连续: $A_n\downarrow \varnothing ⟹\mu (A_n)\downarrow \mu (\varnothing )$

有限可加测度

定义

$\mathcal{E}$为$\Omega$上的集类，$\mu :\mathcal{E}\to \overline{\mathbb{R}}$，称$\mu$为有限可加测度，若$\mu$满足：

• 非负性：$\forall A\in \mathcal{E},\mu (A)\ge 0$
• 有限可加性
• 有研究价值：存在$A_0\in \mathcal{E}$，使得$\mu (A_0)<\infty$

性质

1. 若$\varnothing \in \mathcal{E}$，则$\mu (\varnothing )=0$
2. 若$\mu$为半环$\mathcal{E}$上有限可加测度，则$A,B\in \mathcal{E}\wedge A\subseteq B⟹\mu (A)\le \mu (B)$
3. 若$\mu$为半环$\mathcal{E}$上有限可加测度，则$A,B\in \mathcal{E}\wedge A\subseteq B\wedge B\backslash A\in \mathcal{E}\wedge \mu (A)<\infty ⟹\mu (B-A)=\mu (B)-\mu (A)$
4. 若$\mu$为半环$\mathcal{E}$上有限可加测度，则$A,A_1,A_2,\cdots A_n\in \mathcal{E}\wedge A_i\cap A_j=\varnothing ,i\ne j\wedge {⨄}_{i=1}^n{A}_i\subseteq A⟹{\sum }_{i=1}^n\mu (A_i)\le \mu (A)$
5. 若$\mu$为半环$\mathcal{E}$上有限可加测度，则$A,A_1,A_2,\cdots \in \mathcal{E}\wedge A_i\cap A_j=\varnothing ,i\ne j\wedge {⨄}_{i=1}^{\infty }{A}_i\subseteq A⟹{\sum }_{i=1}^{\infty }\mu (A_i)\le \mu (A)$
6. 若$\mu$为半环$\mathcal{E}$上有限可加测度,则其具有有限次可加性
7. 有限可加测度的容斥原理： $\mu ({\bigcup }_{i=1}^n{A}_i)={\sum }_{k=1}^n(-1{)}^{k+1}{\sum }_{1\le i_1<\cdots <i_k\le n}\mu (A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k})$

可列可加测度(简称测度)

定义

$\mathcal{E}$为$\Omega$上的集类，$\mu :\mathcal{E}\to \overline{\mathbb{R}}$，称$\mu$为可列可加测度，若$\mu$满足：

• 非负性：$\forall A\in \mathcal{E},\mu (A)\ge 0$
• 可列可加性
• 有研究价值：存在$A_0\in \mathcal{E}$，使得$\mu (A_0)<\infty$

有限 : $\forall A\in \mathcal{E},\mu (A)<\infty$
$\sigma$ 有限（$\sigma$-有限，sigma有限）：$\forall A\in \mathcal{E},\exists \{A_n{\}}_{n=1}^{\infty }\in \mathcal{E},s.t.A\subseteq {\cup }_{n=1}^{\infty }{A}_n\wedge \mu (A_n)<\infty$

性质

1. 若$\varnothing \in \mathcal{E}$，则$\mu (\varnothing )=0$
2. $\mu$为测度，若$\varnothing \in \mathcal{E}$，$\mu$为有限可加测度
3. 半环上的测度具有可列次可加性
4. 半环上的测度 向上(从下)连续，即$A_n\in \mathcal{E}\wedge A_n\uparrow \wedge \underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n\in \mathcal{E}⟹\underset{n\to \infty }{\lim }\mu (A_n)=\mu (\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n)$
5. 半环上的测度 向下(从上)连续，即$A_n\in \mathcal{E}\wedge A_n\downarrow \wedge \underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n\in \mathcal{E}\wedge \exists n_0\text{ s.t. }\mu (A_{n_0})<\infty ⟹\underset{n\to \infty }{\lim }\mu (A_n)=\mu (\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n)$
6. 设$\mu$为半环$\mathcal{E}$上的有限可加测度，则下列各条件等价
   • $\mu$为测度
   • $\mu$为具有可列次可加性
   • $A_1,A_2,\cdots \in \mathcal{E}\wedge {\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i\in \mathcal{E}⟹{\sum }_{i=1}^{\infty }\mu (A_i)\le \mu ({\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i)$
7. 设$\mathcal{E}$ 为代数，若$\mu :\mathcal{E}\to \mathbb{R}$具有非负性和有限可加性，则($\mu$在$\varnothing$处连续 $⟹$ $\mu$为测度)

测度空间

定义

若 $(\Omega ,\mathcal{F})$可测空间，$\mu$为$\mathcal{F}$上测度，则称$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$为测度空间。

若$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$为测度空间，且$\mu (\Omega )=1$，则称$\mu$为概率测度,称$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$为概率空间。

• 称可测拓扑空间$(X,\mathcal{B}(X),\mathcal{T})$上的测度为Borel测度。

性质

1. 设$(\Omega ,\mathcal{E},\mu )$为测度空间,$\{A_n{\}}_{n=1}^{\infty }\subseteq \mathcal{F}$，则
   1. $\mu \left({\underline{\lim }}_{n\to \infty }{A}_n\right)\le {\underline{\lim }}_{n\to \infty }\mu (A_n)$

外测度

• 称${\mu }^{\ast }:\mathcal{P}(\Omega )\to \overline{\mathbb{R}}$为外测度，若${\mu }^{\ast }$满足：
  • ${\mu }^{\ast }(\varnothing )=0$
  • 单调性：$A\subseteq B⟹{\mu }^{\ast }(A)\le {\mu }^{\ast }(B)$
  • 可列次可加性：$A_1,A_2,\cdots \in \mathcal{P}(\Omega )⟹{\mu }^{\ast }({\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i)\le {\sum }_{i=1}^{\infty }{\mu }^{\ast }(A_i)$

设${\mu }^{\ast }$为$\Omega$上的外测度，称$A\in \mathcal{P}(\Omega )$为${\mu }^{\ast }$-可测，若
$\forall B\in \mathcal{P}(\Omega ),{\mu }^{\ast }(B)={\mu }^{\ast }(B\cap A)+{\mu }^{\ast }(B\cap A^c)$

因为外测度具有有限次可加性，所以上式等价于

$\forall B\in \mathcal{P}(\Omega ),{\mu }^{\ast }(B)\ge {\mu }^{\ast }(B\cap A)+{\mu }^{\ast }(B\cap A^c)$

${\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }}$表示所有的${\mu }^{\ast }$-可测集构成的集类，简称为${\mu }^{\ast }$-可测集类。

外测度的性质

1. 非负性：$\forall A\in \mathcal{P}(\Omega ),{\mu }^{\ast }(A)\ge 0$
2. 有限次可加性：$\forall A_1,A_2,\cdots ,A_n\in \mathcal{P}(\Omega ),{\mu }^{\ast }({\bigcup }_{i=1}^n{A}_i)\le {\sum }_{i=1}^n{\mu }^{\ast }(A_i)$
3. $\varnothing \in {\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }}$, $\Omega \in {\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }}$
4. ${\mu }^{\ast }(A)=0⟹\mathcal{P}(A)\subseteq {\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }}$
5. $A\in {\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }}⟹A^c\in {\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }}$
6. ${\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }}$为$\Omega$上的$\sigma$-代数
7. ${\mu }^{\ast }$限制到${\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }}$上为测度，称为由${\mu }^{\ast }$诱导的测度，记为${\mu }^{\ast }{|}_{{\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }}}$

由半环上的测度诱导的外测度

设$\mu$为半环$\mathcal{E}$上的测度，对于任意的$A\in \mathcal{P}(\Omega )$，定义

${\mu }^{\ast }(A)=\inf \left\{{\sum }_{i\in I}\mu (A_i)\mid I\subseteq \mathbb{N},A_i\in \mathcal{E},A\subseteq {\bigcup }_{i\in I}{A}_i\right\}$

${\mu }^{\ast }$有如下性质

• ${\mu }^{\ast }$限制到$\mathcal{E}$与$\mu$一致
• ${\mu }^{\ast }$为$\Omega$上的外测度, 称之为由$\mu$诱导的外测度

设${\mu }^{\ast }$为半环$\mathcal{E}$上的测度诱导的外测度，则$A\in {\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }}$当且仅当

$\forall B\in \mathcal{E},{\mu }^{\ast }(B)={\mu }^{\ast }(B\cap A)+{\mu }^{\ast }(B\cap A^c)$

测度扩张定理

定义

设${\mathcal{E}}_1,{\mathcal{E}}_2$为$\Omega$上的集类，${\mathcal{E}}_1\subseteq {\mathcal{E}}_2$，${\mu }_i$是${\mathcal{E}}_i$上的测度或有限可加测度，若 $\forall A\in {\mathcal{E}}_1,{\mu }_1(A)={\mu }_2(A)$，则称${\mu }_2$是${\mu }_1$的在${\mathcal{E}}_2$扩张, ${\mu }_1$是${\mu }_2$在${\mathcal{E}}_1$的限制。

性质

1. 设$\mu$为半环$\mathcal{E}$上的测度，则$\sigma (\mathcal{E})\subseteq {\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }}$

2. 设$\mathcal{E}$为$\Omega$上的$\pi$类，${\mu }_1,{\mu }_2$是$\mathcal{E}$上的两个有限测度。若(${\mu }_1(A)={\mu }_2(A),\forall A\in \mathcal{E}\wedge {\mu }_1(\Omega )={\mu }_2(\Omega )$)，则${\mu }_1(A)={\mu }_2(A),\forall A\in \sigma (\mathcal{E})$。

3. 设$\mu$为半环$\mathcal{E}$上的测度，则

   1. $\mu$在$\sigma (\mathcal{E})$上的扩张必然存在，因为$\sigma (\mathcal{E})\subseteq {\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }}$
   2. 若$\mu$还在$\mathcal{E}$上$\sigma$-有限,且$\Omega$可以表示成$\mathcal{E}$中元素的可列并，则$\mu$在$\sigma (\mathcal{E})$上的扩张唯一,且所得的测度在$\sigma (\mathcal{E})$上$\sigma$-有限

测度完备化

定义

设$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$为测度空间.

零测集：称$A$ 为 零测集，若$A\in \mathcal{F}\wedge \mu (A)=0$
可略集: 称$A$ 为 可略集，若 $\exists \text{零测集}B\text{ s.t. }A\subseteq B$，所有的可略集构成的集类记为${\mathcal{N}}_{\mu }$

• 称$(\Omega ,F,\mu )$为完备测度空间，若${\mathcal{N}}_{\mu }\subseteq F$

设$(\Omega ,{\mathcal{F}}_1,{\mu }_1)$和$(\Omega ,{\mathcal{F}}_2,{\mu }_2)$为两个测度空间，称$(\Omega ,{\mathcal{F}}_2,{\mu }_2)$是$(\Omega ,{\mathcal{F}}_1,{\mu }_1)$的完备化，若

• (1) $(\Omega ,{\mathcal{F}}_2,{\mu }_2)$ 为完备测度空间
• (2) ${\mathcal{F}}_1\subseteq {\mathcal{F}}_2$
• (3) ${\mu }_2{|}_{{\mathcal{F}}_1}={\mu }_1$, 即${\mu }_2$是${\mu }_1$的扩张

设$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$为测度空间
$\overline{\mathcal{F}}:=\{A\cup N\mid A\in \mathcal{F},N\in {\mathcal{N}}_{\mu }\},\overline{\mu }(A\cup N):=\mu (A)$
${\mathcal{F}}^{\Delta }:=\{A\Delta N:A\in \mathcal{F},N\in {\mathcal{N}}_{\mu }\}$, ${\mu }_{\Delta }(A\Delta N):=\mu (A)$
${\mathcal{F}}^{\ast }:=\{A\in \Omega \mid \exists A_1,A_2\in \mathcal{F},s.t.A_1\subseteq A\subseteq A_2\wedge \mu (A_1)=\mu (A_2)\}$, ${\mu }^{\ast }(A):=\mu (A_1)$
可以验证$\overline{\mu },{\mu }^{\Delta },{\mu }^{\ast }$都是良定义的。

性质

1. 设${\mu }^{\ast }$为$\Omega$上的任一外测度，${\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }}$为${\mu }^{\ast }$-可测集类，则$(\Omega ,{\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }},{\mu }^{\ast }{|}_{{\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }}})$为完备测度空间.

2. 以下五个命题成立

   • (1) $\overline{\mathcal{F}}$为$\sigma$-代数
   • (2) $\overline{\mathcal{F}}=\sigma (\mathcal{F}\cup {\mathcal{N}}_{\mu })$
   • (3) $\overline{\mu }$为$\overline{\mathcal{F}}$上的测度
   • (4) $\overline{\mu }$是完备测度
   • (5) $(\Omega ,\overline{\mathcal{F}},\overline{\mu })$为$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$的最小的完备化测度空间。

3. $\overline{\mathcal{F}}={\mathcal{F}}^{\Delta }={\mathcal{F}}^{\ast }$

4. $\overline{\mu }={\mu }^{\Delta }={\mu }^{\ast }$

5. $(\Omega ,{\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }},{\mu }^{\ast })$是$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$的完备化.

6. 设$\Omega ,\mathcal{F},\mu$为$\sigma$-有限测度空间，${\mu }^{\ast }$为$\mu$诱导的外测度，${\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }}$为${\mu }^{\ast }$-可测集类，则$(\forall A\in {\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }},\exists B\in \mathcal{F},\text{s.t. }A\subseteq B\wedge {\mu }^{\ast }(B\setminus A)=0)$

7. 设$\Omega ,\mathcal{F},\mu$为$\sigma$-有限测度空间，则:

   1. ${\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }}=\overline{\mathcal{F}}$
   2. ${\mu }^{\ast }{|}_{{\mathcal{U}}_{{\mu }^{\ast }}}=\overline{\mu }$

Examples

计数测度

设 $\Omega$ 为任意集合。在 $(\Omega ,\mathcal{P}(\Omega ))$ 上定义

$$\#(A)=\{\begin{array}{ll}|A|,& A\text{ 为有限集},\\ +\infty ,& A\text{ 为无限集},\end{array}A\subseteq \Omega .$$

称 $\#$ 为 $\Omega$ 上的计数测度（counting measure）。若
$\{A_n{\}}_{n⩾1}\subseteq \mathcal{P}(\Omega )$ 两两不交，则对每个
$N⩾1$，

$$\#\left(\underset{n=1}{\overset{N}{⨄}}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^N\#(A_n).$$

事实上，若其中某个 $A_n$ 无限，则等式两端均为 $+\infty$；否则这就是
有限个两两不交的有限集的基数公式。

下面验证测度公理：

1. 非负性与空集：显然 $\#(A)\in [0,+\infty ]$，且
   $\#(\varnothing )=0$。
2. 可列可加性：记 $A={⨄}_{n=1}^{\infty }{A}_n$。

   • 若某个 $A_k$ 为无限集，则 $A$ 也是无限集，等式两端均为
     $+\infty$。

   • 若每个 $A_n$ 都是有限集，则

     $$\#(A)=\underset{N\to \infty }{\lim }\#\left(\underset{n=1}{\overset{N}{⨄}}{A}_n\right)=\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{n=1}^N\#(A_n)=\sum _{n=1}^{\infty }\#(A_n).$$

     第一处等号可直接由基数验证：若 $A$ 有限，则只有有限多个
     $A_n$ 非空，有限并最终稳定；若 $A$ 无限，则有限并的基数趋于
     $+\infty$。

因此

$$\#\left(\underset{n=1}{\overset{\infty }{⨄}}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\#(A_n),$$

即 $\#$ 是 $(\Omega ,\mathcal{P}(\Omega ))$ 上的测度。它具有以下性质：

• $\#(\{\omega \})=1$，$\omega \in \Omega$；

• $\#$ 是有限测度当且仅当 $\Omega$ 有限；

• $\#$ 是 $\sigma$-有限测度当且仅当 $\Omega$ 至多可数。

  证明 若 $\Omega$ 至多可数，则可将它写成至多可数个单点集之并，而每个
  单点集的计数测度均为 $1$，故 $\#$ 是 $\sigma$-有限测度。

  反之，若 $\#$ 是 $\sigma$-有限测度，则存在
  $\{E_n{\}}_{n⩾1}\subseteq \mathcal{P}(\Omega )$，使得

  $$\Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }{E}_n,\#(E_n)<\infty .$$

  因此每个 $E_n$ 都是有限集，而有限集的可列并至多可数，所以 $\Omega$
  至多可数。$\square$

若 $\Omega$ 是非空有限集，则归一化后的计数测度

$$P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega )}$$

是 $\Omega$ 上的均匀概率测度。

集中在子集上的计数测度

设 $(\Omega ,\mathcal{F})$ 为可测空间，$E\in \mathcal{F}$。对任意
$A\in \mathcal{F}$，定义

$${\nu }_E(A):=\#(A\cap E).$$

称 ${\nu }_E$ 为集中在 $E$ 上的计数测度。它确实是测度：首先
${\nu }_E(A)⩾0$ 且 ${\nu }_E(\varnothing )=0$；其次，若
$\{A_n{\}}_{n⩾1}\subseteq \mathcal{F}$ 两两不交，则
$\{A_n\cap E{\}}_{n⩾1}$ 也两两不交，所以

$$\begin{array}{rl}{\nu }_E\left(\underset{n=1}{\overset{\infty }{⨄}}{A}_n\right)& =\#\left(\left(\underset{n=1}{\overset{\infty }{⨄}}{A}_n\right)\cap E\right)\\ & =\#\left(\underset{n=1}{\overset{\infty }{⨄}}(A_n\cap E)\right)\\ & =\sum _{n=1}^{\infty }\#(A_n\cap E)\\ & =\sum _{n=1}^{\infty }{\nu }_E(A_n).\end{array}$$

此外，

$${\nu }_E(\Omega \setminus E)=0,$$

即 ${\nu }_E$ 的全部质量都集中在 $E$ 上。它还具有以下性质：

1. ${\nu }_E(\Omega )=\#(E)$，故 ${\nu }_E$ 是有限测度当且仅当 $E$ 是
   有限集；它是概率测度当且仅当 $E$ 是单点集。

2. 若 $\mathcal{F}$ 包含 $\Omega$ 的所有单点集，则
   ${\nu }_E$ 是 $\sigma$-有限测度当且仅当 $E$ 至多可数。

   事实上，若 $E=\{{\omega }_n:n\in I\}$ 至多可数，则

   $$\Omega =(\Omega \setminus E)\cup \bigcup _{n\in I}\{{\omega }_n\},$$

   且等号右侧各集合的 ${\nu }_E$-测度均有限。反之，若
   $\Omega ={\bigcup }_{n=1}^{\infty }{B}_n$ 且 ${\nu }_E(B_n)<\infty$，则
   每个 $B_n\cap E$ 都是有限集，而

   $$E=\bigcup _{n=1}^{\infty }(B_n\cap E)$$

   至多可数。

3. 若 $E=\{{\omega }_n:n\in I\}$ 至多可数且各点两两不同，则

   $${\nu }_E=\sum _{n\in I}{\delta }_{{\omega }_n}.$$

集中计数测度可视为计数测度在 $E$ 上的限制，再将其扩充为
$\Omega$ 上、在 $\Omega \setminus E$ 处取零的测度。

Dirac 测度

设 $(\Omega ,\mathcal{F})$ 为可测空间，固定 ${\omega }_0\in \Omega$。定义

$${\delta }_{{\omega }_0}(A)=I_A({\omega }_0)=\{\begin{array}{ll}1,& {\omega }_0\in A,\\ 0,& {\omega }_0\notin A,\end{array}A\in \mathcal{F}.$$

称 ${\delta }_{{\omega }_0}$ 为集中在 ${\omega }_0$ 处的 Dirac 测度。对于任意两两不交的
$\{A_n{\}}_{n⩾1}\subseteq \mathcal{F}$，有

$${\omega }_0\in \underset{n=1}{\overset{\infty }{⨄}}{A}_n⟺\text{存在唯一的 }k⩾1\text{ 使 }{\omega }_0\in A_k.$$

若不存在这样的 $k$，则下式两端均为 $0$；若存在，则两端均为
$1$。因此

$${\delta }_{{\omega }_0}\left(\underset{n=1}{\overset{\infty }{⨄}}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\delta }_{{\omega }_0}(A_n).$$

此外，${\delta }_{{\omega }_0}(A)⩾0$、
${\delta }_{{\omega }_0}(\varnothing )=0$，并且
${\delta }_{{\omega }_0}(\Omega )=1$。所以 ${\delta }_{{\omega }_0}$ 不仅是测度，
还是概率测度。

Dirac 测度也可看作集中在单点集上的计数测度：

$${\delta }_{{\omega }_0}(A)=\#(A\cap \{{\omega }_0\}).$$

更一般地，若 $\{{\omega }_n:n\in I\}$ 至多可数、各点两两不同，且对每个
$n\in I$ 都有 $\{{\omega }_n\}\in \mathcal{F}$，并且
$p_n⩾0$、${\sum }_{n\in I}{p}_n=1$，则

$$P=\sum _{n\in I}{p}_n{\delta }_{{\omega }_n}$$

是离散概率测度。事实上，对任意 $A\in \mathcal{F}$，

$$P(A)=\sum _{n\in I}{p}_n{\delta }_{{\omega }_n}(A)=\sum _{\{n\in I:{\omega }_n\in A\}}{p}_n.$$

因此 $P(A)⩾0$、$P(\varnothing )=0$，并且

$$P(\Omega )=\sum _{n\in I}{p}_n=1.$$

再设 $\{A_k{\}}_{k⩾1}\subseteq \mathcal{F}$ 两两不交。对每个
$n\in I$，至多有一个 $A_k$ 包含 ${\omega }_n$，故

$${\delta }_{{\omega }_n}\left(\underset{k=1}{\overset{\infty }{⨄}}{A}_k\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\delta }_{{\omega }_n}(A_k).$$

由于所有项均非负，可以交换两个求和的次序，从而

$$\begin{array}{rl}P\left(\underset{k=1}{\overset{\infty }{⨄}}{A}_k\right)& =\sum _{n\in I}{p}_n{\delta }_{{\omega }_n}\left(\underset{k=1}{\overset{\infty }{⨄}}{A}_k\right)\\ & =\sum _{n\in I}\sum _{k=1}^{\infty }{p}_n{\delta }_{{\omega }_n}(A_k)\\ & =\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n\in I}{p}_n{\delta }_{{\omega }_n}(A_k)\\ & =\sum _{k=1}^{\infty }P(A_k).\end{array}$$

所以 $P$ 具有可列可加性；结合 $P(\Omega )=1$，可知 $P$ 是概率测度。
最后，由各 ${\omega }_n$ 两两不同，

$$P(\{{\omega }_n\})=\sum _{m\in I}{p}_m{\delta }_{{\omega }_m}(\{{\omega }_n\})=p_n.\square$$