紧空间

前置

• 连续映射

定义

• 称$A$为紧集(compact set)，若$A$的任意开覆盖都有有限子覆盖，即若$A\subseteq {\bigcup }_{i\in I}{U}_i$，其中$U_i\in \tau$,存在有限集$J\subseteq I$，使得$A\subseteq {\bigcup }_{i\in J}{U}_i$

• 称$X$为紧空间(compact space)，若$X$为紧集

• 称$X$为局部紧空间(locally compact space)，若对于任意$x\in X$，存在开集$U$和紧集$K$，使得$x\in U\subseteq K\subseteq X$

• 称$A$在$X$中是预紧的(precompact)，若$A$的闭包在$X$中是紧集

• 称$X$为 Lindelöf 空间(Lindelöf space)，若$X$中任意开覆盖都有可数子覆盖

• 称$X$为可数紧空间(countably compact space)，若$X$中任意可数开覆盖都有有限子覆盖

• 称$A\subseteq X$为列紧集(sequentially compact set)，若$A$中任意序列都有收敛的子序列（极限不必在$A$中）

性质

1. $X$为紧空间 $⟺$ 具有有限交性质的闭集族的交不空
2. $X$为可数紧空间，$A$是$X$的无限子集，则$A^d\ne \varnothing$
3. $K$紧，$U$开，则$K\backslash U$紧
4. 紧集的闭子集为紧集
5. 可数紧集的闭子集为可数紧集
6. 紧集都是列紧的
7. 紧 Hausdorff 空间为 正规空间
8. Hausdorff 空间中，紧集都是闭集
9. 设$X$为 Hausdorff 空间，$K$为$X$的紧集，$U_1,U_2$均为$X$的开集，且$K\subseteq U_1\cup U_2$，则存在紧集$K_1,K_2$，使得$K_1\subseteq U_1,K_2\subseteq U_2,K=K_1\cup K_2$
10. 第一可数空间中，紧 $\Rightarrow$ 列紧
11. Hausdorff 空间中,以下三个命题等价
    (a) $X$为局部紧空间
    (b)$X$中任意一点都存在预紧开邻域
    (c)$X$上存在一个预紧基(由预紧开集构成的基)
12. $X$ 为 Hausdorff 空间，若$X$在点$x$处局部紧，则对于$x$的任意开邻域$U_x$,都存在$x$的开邻域$V_x$，使得${\overline{V}}_x\subseteq U_x$且$V_x$为紧集
13. 设$X$为 Hausdorff 空间，$K$和$L$为$X$的紧集，且$K\cap L=\varnothing$，则存在开集$U,V$，使得$K\subseteq U,L\subseteq V,U\cap V=\varnothing$
14. 设$X$为拓扑空间，$\mathcal{S}$为$X$的一个子基，则($X$为紧空间 $⟺$ 任何由$\mathcal{S}$的子集所构成的开覆盖都有有限的子覆盖)
15. 第二可数空间都是 Lindelöf 空间
16. $X$为拓扑空间，$A\subseteq X$，$A$为可数紧的 $⟺$ 相对拓扑$A$的任意开覆盖都有可数子覆盖
17. 若$K$为$X$中的紧集，$X_0$为$X$的闭子空间，则$K\cap X_0$为$X_0$中的紧集
18. 在子空间中紧与在原空间中紧是等价的。
19. 连续映射将紧集映射到紧集
20. 同胚映射将预紧集映射到预紧集
21. 若$X$为 局部紧 Hausdorff 空间，$A$为$X$中的开集或闭集，则子空间$A$为局部紧 Hausdorff 空间