linear space

函数空间

$X\subseteq \mathbb{C}:=F,V=\{f:X\to \mathbb{C}\}$

• 在$V$上定义加法 $$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$$

易得$⟨V,+⟩$是一个交换群

• 在$V$上定义数乘 $$(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$$

易得

• $(a+b)f=af+bf$
• $a(f+g)=af+ag$
• $(ab)f=a(bf)$
• $1f=f$

所以$⟨F,V⟩$是一个线性空间

k阶可导的函数空间

$X\subseteq \mathbb{R},U_k=\{f:X\to \mathbb{R}\mid f\text{ is differentiable at least k times}\}$

易得$U_k$是$V$的子空间

函数空间上的求导(算子)

$D:U_k\to U_{k-1},(Df)(x)=f^{\prime }(x)$

有

• $D(f+g)=Df+Dg$
• $D(\lambda f)=\lambda Df$

所以求导算子$D$是线性映射

线性映射复合线性映射仍是线性映射

因此

$$D^k=D\circ D\circ \cdots \circ D$$

是线性映射

线性映射的线性组合仍是线性映射,因此

$$\sum _{i=0}^k{\lambda }_i{D}^i$$

是线性映射

多元函数

$X\subseteq {\mathbb{C}}^n,V=\{f:X\to \mathbb{C}\}$

• 在$V$上定义加法 $$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$$

易得$⟨V,+⟩$是一个交换群

• 在$V$上定义数乘 $$(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$$

易得

• $(a+b)f=af+bf$
• $a(f+g)=af+ag$
• $(ab)f=a(bf)$
• $1f=f$

所以$⟨F,V⟩$是一个线性空间