二元运算

前置

• naive-set-theory-1

定义

• binary operation(二元运算, 二元操作): 称$(S,\ast )$为二元运算，若$S$为一个集合，$\ast$ 是一个映射, $\ast :S\times S\to S$, $\ast (a,b)=:(a\ast b)=:ab$
• 单位元: 称$e\in S$为单位元，如果$\forall a\in S,e\ast a=a\ast e=a$
• 逆元: 称$b\in S$为$a\in S$的逆元，如果$a\ast b=b\ast a=e$，记作$b=a^{-1}$
• 交换律: 称$\ast$有交换律，如果$\forall a,b\in S,a\ast b=b\ast a$
• 结合律：称$\ast$有结合律，如果$\forall a,b,c\in S,(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$
• 子二元运算（子运算）：设$X\subseteq S$，称$(X,{\ast }^{\prime })$为$\ast$的子二元运算，若${\ast }^{\prime }$是$\ast$在$X$上的限制，即${\ast }^{\prime }:X\times X\to X$，且$\forall a,b\in X,a{\ast }^{\prime }b=a\ast b$

性质

1. 二元运算里的单位元唯一
2. 二元运算的单位元与这个运算的子运算的单位元不一定相等，除非子运算包含该运算的单位元
3. 二元运算里的逆元唯一