拓扑向量空间

• 实数域上多元向量值函数上的可微
• 定义抽象导数需要的结构
  • 拓扑向量空间
  • 可微
  • 如何在拓扑向量空间中定义无穷小和高阶无穷小？
• 拓扑向量空间与可微
  • 拓扑向量空间
  • 可微
    • 高阶无穷小
• 性质

目标：定义抽象导数

实数域上多元向量值函数上的可微

$f:R^n\to R^m$ 可微$⟺$ $f(x+h)=f(x)+L(h)+r(h)$

$L$ 是线性映射, $r(h)$ 是 $R^n\to R^m$ 的函数，且 是 $r(h)\in o(||h||)$

$li{m}_{||h||\to 0}\frac{||r(h)||}{||h||}=0$,分子为$R^m$中的范数，分母为$R^n$中的范数

定义抽象导数需要的结构

设$f:A\to B$,A,B 目前是集合，为了定义导数，需要赋予 A,B 某些结构。

目标	需要的结构
$A$ 和 $B$ 上有二元运算$x+h$和$f(x)+L(h)+r(h)$	$A$ 和 $B$ 是交换群。
$L$ 是线性映射。	$A$ 和 $B$ 是线性空间 over $F$
$r(h)$需要能定义极限。	$A$ 和 $B$ 是拓扑空间
h 趋于 0 时，x+h 需要趋于 x	加法在拓扑空间中连续
怎么在没有度量的情况下定义无穷小和高阶无穷小？	标量乘法在拓扑空间中连续

拓扑向量空间

对于$F$上的有拓扑$\tau$的向量空间$(X,F,\tau )$，如果

1. 向量空间的加法运算$X+X:X\times X\to X$是连续的,即：对任意$x+y$的任一邻域$V_{x+y}$，存在$x$的邻域$V_x$和$y$的邻域$V_y$，使得$V_x+V_y$包含于$V_{x+y}$。
2. 向量空间的标量乘法运算$aX:R\times X\to X$是连续的,即：对任意$ax$的任一邻域$V_{ax}$，存在$a$的邻域$V_a$和$x$的邻域$V_x$，使得$V_a{V}_x$包含于$V_{ax}$。

则称$(X,F,\tau )$为拓扑向量空间

可微

$X$ 和 $Y$ 是拓扑向量空间

$f:X\to Y$ 在 $x$ 处可微 $⟺$ 存在$L$和$r$使得$f(x+h)=f(x)+L(h)+r(h)$

其中，$L$ 是线性映射, $r(h)$ 是 $X\to Y$ 的函数，且 是 $r(h)$ 是 $h$ 的高阶无穷小

如何在拓扑向量空间中定义无穷小和高阶无穷小？

粗略地说

$r(h)$ 是 $h$ 的高阶无穷小$⟺$ $h$ 趋于 0 时，$r(h)$ 更快地趋于 0

在度量空间中可以通过距离定义无穷小，通过距离的比定义高阶无穷小。

在拓扑空间中，因为可以通过邻域的定义收敛的概念，所以可以定义无穷小为收敛到 0 的序列。

但是怎么定义更快得收敛呢？更准确地说：怎么定义 $r(h)$ 比 $h$ 更快地趋于 0？可以通过 $F$ 上的高阶无穷小定义$(X,F,\tau )$上的高阶无穷小。

$r(h)$是$h$的高阶无穷小的定义如下：

对于 $X$ 里的 0 的任意邻域 $V_0$，$r(t{V}_0)\subset o(t)V_0$，其中 $t$ 是 $F$ 里的元素,$o(t)$ 是 $t$ 的高阶无穷小。

即$t$趋于 0 时，通过集合的包含关系$r(t{V}_0)\subset o(t)V_0$定义更快地趋于 0

这里还有一个问题，怎么定义 $o(t)$ 是 $t$ 的高阶无穷小？

这时$F$上又需要定义无穷小和高阶无穷小。$F$上需要有拓扑。可预见地(事后诸葛地)，最终我们仍要需要使用$ϵ-\delta$语言来描述高阶无穷小，也就是说我们需要一个有拓扑结构的、有度量的数域。

因此$F$需要是$\mathbb{C}$的子域，在复数域上可以通过模长来把$F$转化到$\mathbb{R}$上，然后在$\mathbb{R}$上使用$ϵ-\delta$来描述无穷小和高阶无穷小。

拓扑向量空间与可微

拓扑向量空间

拓扑向量空间 $(X,F,\tau )$

• $(X,F)$ 是向量空间
• $(X,\tau )$ 是拓扑空间
• 加法 $X+X:X\times X\to X$ 连续
• 标量乘法 $aX:F\times X\to X$ 连续
• $F$是一个$\mathbb{C}$的子域

可微

$X$ 和 $Y$ 都是数域$F$上的拓扑向量空间

$f:X\to Y$ 在 $x$ 处可微 $⟺$ 存在$L$和$r$使得$f(x+h)=f(x)+L(h)+r(h)$

其中，$L$ 是线性映射, $r(h)$ 是 $X\to Y$ 的函数，且 是 $r(h)$ 是 $h$ 的高阶无穷小

$f$ 在 $X$ 上可微 $⟺$ 对任一$x\in X$，存在$L_x$和$r_x$使得$f(x+h)=f(x)+L_x(h)+r_x(h)$

高阶无穷小

对于 $X$ 里的 0 的任意邻域 $V_0$，$r(t{V}_0)\subset o(t)V_0$，其中 $t$ 是 $F$ 里的元素,$o(t)$ 是 $t$ 的高阶无穷小，即$li{m}_{t\to 0}\frac{|r(t)|}{|t|}=0$

性质

1. $L=D_{x}f$ 是单射 $⟺$ $rank(L)=dim(X)$