环论(幂运算)

前置

• 整数

幂运算

可以在有序(存在一个正元集)整环(非零、无零因子、交换幺环)$R$上递归定义幂运算$x^n$，其中$x\in R$，$n\in \mathbb{N}$

$x^0=1$

$x^n=x^{n-1}x$

性质

1. $x^n{x}^m=x^{n+m}$
2. $(x^n{)}^m=x^{nm}$
3. $(xy{)}^n=x^n{y}^n$
4. 若$n>0$，则$x^n=0$当且仅当$x=0$
5. 若$n>0\wedge x>y>0$，则$x^n>y^n>0$。
6. $|x^n|=|x{|}^n$

若$R$也是域，则可以定义整数幂

$x^{-n}=(x^{-1}{)}^n$ for $x\ne 0,n\in \mathbb{N}$

1. $x^n{x}^m=x^{n+m}$

   • 若$m,n\ge 0$，则$x^n{x}^m=x^{n+m}$自然成立
   • 若$m,n\le 0$，则$x^n{x}^m=(x^{-1}{)}^{-n}(x^{-1}{)}^{-m}=x^{-n-m}=x^{n+m}$
   • 若$m\ge 0,n<0$，对$m$使用数学归纳法

2. $(x^{-1}{)}^n=x^{-n}$

3. $(x^n{)}^{-1}=(x^{-1}{)}^n$

4. $(x^n{)}^m=x^{nm}$

5. $(xy{)}^n=x^n{y}^n$

6. If $x>y>0$, then $x^n>y^n>0$ if $n$ is positive, and $0<x^n<y^n$ if $n$ is negative.

7. If $x,y>0$, $n\ne 0$, and $x^n=y^n$, then $x=y$.

8. $|x^{-1}|=|x{|}^{-1}$

9. $|x^n|=|x{|}^n$