群论(循环群)

前置

$G$ 是一个群， $a \in G$ ， $H = {a^{n} ∣ n \in Z}$ ，则 $H \leq G$ ，且 $H$ 是包含 $a$ 的最小子群，即任意包含 $a$ 的子群都包含 $H$ ，称 $H$ 为 $a$ 生成的子群，记作 $H = ⟨ a ⟩$
循环群：称 $G$ 为循环群，如果存在 $a \in G$ ，使得 $G = ⟨ a ⟩$

只需要证明任意一个整数 $n$ ，都在 $a = 1$ 生成的循环群中

首先对 $n \geq 0$ 使用数学归纳法： $a^{0} = 0$ ,设 $a^{n} = n$ ，则 $a^{n + 1} = a^{n} + a = n + 1$ ,因此 $a^{n}$ 可以生成所有自然数

对 $n < 0$ ， $a^{n} a^{- n} = a^{0} = 0$ ， $a^{n} = (a^{- n})^{- 1} = - (- n) = n$ ，因此 $a^{n}$ 可以生成所有负整数

因此 $a^{n}$ 可以生成所有整数，即 $< Z, + >$ 是循环群， $1$ 是生成元

$< Z_{m}, \oplus_{m} >$ 是群, $a \oplus_{m} b = (a + b) % m$ , $0$ 是单位元， $a$ 的逆元是 $m - a$

令 $a = 1$

在 $\oplus_{m}$ 运算下的 $a^{n} =$ 在 $+$ 运算下的 $(a^{n}) % m$

因为 $a^{n}$ 可以生成所有整数，所以 $a^{n}$ 可以生成所有整数模 $m$ 的余数，即 $< Z_{m}, \oplus_{m} >$ 是循环群， $1$ 是生成元

(也可以使用同态映射证明)

循环群都是交换群
循环群的子群是循环群
$Z$ 的子群都可以表示为 $n Z$ 的形式
以 $a$ 为生成元的循环群 $G$ ，若 $∣ G ∣$ 有限，则 $G$ 同构于 $Z_{n}$ ，若 $∣ G ∣$ 无限，则 $G$ 同构于 $Z$
$G = ⟨ a ⟩$ , $b = a^{s}$ ,则 $∣ ⟨ b ⟩ ∣ = ∣ G ∣/ g c d (∣ G ∣, s)$
同构映射将循环群映射到循环群
循环群是交换群
对于一个循环群的任意生成元 $a$ ，循环群为有限循环群等价于: $\exists m \in Z_{+}, s . t . a^{m} = e$
任何无限循环群都与 $< Z, + >$ 同构；同构映射为 $ϕ (a^{i}) \to i$
任何 $n$ 阶有限循环群都与 $< Z_{n}, +_{n} >$ 同构
对于一个 $n$ 阶循环群 $G$ , $b = a^{s}$ , 则有 $b$ 生成的 $G$ 的（循环）子群含有 $g cd (n, s)$ 个元素
如果一个群只有有限个子群，则这个群只有有限个元素
群 G 的最小的包含 ${a_{t}, t \in T a_{t} \in G}$ 的子群 $=$$\{a_t,t\in T\,a_t\in G\}$ 的所有有限个元素的乘积的集合.
循环群的群同态完全由生成元决定。