群论(置换群)

前置

• 初等数论

permutations, coset, direct product

• permutation of $A$: a bijective function $\varphi :A\to A$
• permutation multiplication: $\sigma \tau (a)=\sigma (\tau (a))$
• symmetric group: All permutations on $A$ constitute a group, called the symmetric group, denoted as $S_A$, (所有的置换在复合运算下构成一个群，称为对称群)
• permutation group: If $H$ is a subgroup of $S_A$, then $H$ is called a permutation group
• $a{\sim }_{\sigma }b:=\exists n\in \mathbb{Z},{\sigma }^n(a)=b$,为等价关系
• orbit of $a$: the set of all elements that can be represented by ${\sigma }^n(a)$
• cycle: a permutation is a cycle if 至多只有一个轨道包含多于一个元素
• transposition: a permutation is a transposition if it is a cycle of length 2
• transitive: subgroup $H$ of $S_A$ is transitive if for any $a,b\in A$, there exists $\sigma \in H$ such that $\sigma (a)=b$

性质

1. (Cayley定理) 任意一个群 $A$ 都同构于 $A$ 的一个置换群
2. $\{\sigma \in S_A|\sigma [B]=B\}$ 构成一个(置换)群
3. 对于任意 $n>=3$，对称群 $S_n$ 是非交换群,且只有恒等变换$\sigma$ 满足 for $\forall \gamma ,\sigma \gamma =\gamma \sigma$
4. 每一个有限集 $A$ 的置换都可以表示为若干不相交的 cycles 的乘积
5. 每一个有限集 $A$ 的置换都可以表示为若干 transpositions 的乘积
6. $\sigma \in S_n,\tau =(i,j)$,则$\tau \sigma$和$\sigma$的 orbits 数差 1
7. $S_n$的元素可分解为若干transposition的乘积，其transposition的 数量为要么为偶数要么为奇数，相应称为偶置换和奇置换
8. $S_n$的奇置换和偶置换等势
9. 若 $H$ 为$S_n$的子群，则：H 里全是偶置换 或者 H 里的奇置换数量等于偶置换的数量。
10. 对于任意非空有限集合 $A$，存在一个$S_A$的循环子群 $H$，使得 $H$ 是 transitive on $A$，且$|H|=|A|$
11. 若 $H$ 为$S_n$的子群，则：H 里全是偶置换 或者 H 里的奇置换数量等于偶置换的数量。