Hölder 不等式

前置

• 实数次幂
• derivate
• complex-number
• L-integral

由实数幂的求导得到 Young 不等式，再经归一化得到 Hölder 不等式。有限和与积分用同一论证。

1. 共轭指数

设 $p,q>1$ 满足

$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$$

称 $p,q$ 为一对共轭指数。由此

$$q=\frac{p}{p-1},q-1=\frac{1}{p-1},\frac{p}{q}=p-1.$$

2. Young 不等式

设 $x,y\ge 0$，$p,q>1$ 为共轭指数。则

$$xy\le \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}.$$

等号成立当且仅当 $x^{p-1}=y$，等价地 $x^p=y^q$。

证明. 若 $y=0$，则 $xy=0\le x^p/p$，等号当且仅当 $x=0$，即 $x^{p-1}=y$。

设 $y>0$。固定 $y$，定义

$$F(t)=\frac{t^p}{p}-ty+\frac{y^q}{q},t\ge 0.$$

不等式即 $F(x)\ge 0$。对 $t>0$，

$$F^{\prime }(t)=t^{p-1}-y.$$

映射 $t\mapsto t^{p-1}$ 在 $[0,\infty )$ 上严格递增，故 $F^{\prime }(t)=0$ 有唯一解

$$t_0=y^{1/(p-1)}=y^{q-1}.$$

当 $0<t<t_0$ 时 $F^{\prime }(t)<0$，当 $t>t_0$ 时 $F^{\prime }(t)>0$。$F$ 在 $[0,t_0]$ 上递减、在 $[t_0,\infty )$ 上递增，最小值在 $t_0$ 取得。

由 $t_0^{p-1}=y$ 得

$$t_0^p=y^{p/(p-1)}=y^q,t_{0}y=y^{1/(p-1)+1}=y^{p/(p-1)}=y^q.$$

代入，

$$\begin{array}{rl}F(t_0)& =\frac{t_0^p}{p}-t_{0}y+\frac{y^q}{q}=\frac{y^q}{p}-y^q+\frac{y^q}{q}=y^q\left(\frac{1}{p}-1+\frac{1}{q}\right)=0.\end{array}$$

因此对一切 $t\ge 0$ 有 $F(t)\ge 0$。最小值只在 $t_0$ 取得，故等号当且仅当 $x=t_0$，即 $x^{p-1}=y$。此时 $x^p=y^q$。

反之，若 $x^p=y^q$，则 $x=0$ 时必有 $y=0$；若 $x>0$，则 $y=x^{p/q}=x^{p-1}$。两种等号条件等价。

3. 有限和

设 $a_1,\dots ,a_n$ 与 $b_1,\dots ,b_n$ 为实数或复数，$p,q>1$ 为共轭指数。则

$$\sum _{i=1}^n|a_i{b}_i|\le {\left(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p\right)}^{1/p}{\left(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^q\right)}^{1/q}.$$

左边先对每一项取绝对值，再求和。

证明. 记

$$A={\left(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p\right)}^{1/p},B={\left(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^q\right)}^{1/q}.$$

若 $A=0$，则每个 $|a_i{|}^p=0$，故 $a_i=0$，左边为 $0$。$B=0$ 同样。以下设 $A>0$ 且 $B>0$，令

$$x_i=\frac{|a_i|}{A},y_i=\frac{|b_i|}{B}.$$

则

$$\sum _{i=1}^n{x}_i^p=\frac{1}{A^p}\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p=1,$$

同理 ${\sum }_{i=1}^n{y}_i^q=1$。对每个 $i$ 应用 Young 不等式，

$$x_i{y}_i\le \frac{x_i^p}{p}+\frac{y_i^q}{q}.$$

求和得

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i& \le \frac{1}{p}\sum _{i=1}^n{x}_i^p+\frac{1}{q}\sum _{i=1}^n{y}_i^q=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.\end{array}$$

由 $x_i{y}_i=|a_i{b}_i|/(AB)$ 即得 ${\sum }_{i=1}^n|a_i{b}_i|\le AB$。

和的绝对值

对任意复数 $z,w$，$|z+w|\le |z|+|w|$。归纳得

$$\left|\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right|\le \sum _{i=1}^n|a_i{b}_i|.$$

再代入上一不等式，

$$\left|\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right|\le {\left(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p\right)}^{1/p}{\left(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^q\right)}^{1/q}.$$

4. 积分形式

设 $(X,\Sigma ,\mu )$ 为测度空间，$f,g$ 可测，$p,q>1$ 为共轭指数，且

$$\int |f{|}^{p}d\mu <\infty ,\int |g{|}^{q}d\mu <\infty .$$

则

$$\int |fg|d\mu \le {\left(\int |f{|}^{p}d\mu \right)}^{1/p}{\left(\int |g{|}^{q}d\mu \right)}^{1/q}.$$

证明. 记

$$A={\left(\int |f{|}^{p}d\mu \right)}^{1/p},B={\left(\int |g{|}^{q}d\mu \right)}^{1/q}.$$

若 $A=0$ 或 $B=0$，则相应函数几乎处处为零，不等式成立。否则令 $u=|f|/A$、$v=|g|/B$，则

$$\int u^{p}d\mu =1,\int v^{q}d\mu =1.$$

逐点有 $uv\le u^p/p+v^q/q$。由积分的保序性与线性，

$$\int uvd\mu \le \frac{1}{p}\int u^{p}d\mu +\frac{1}{q}\int v^{q}d\mu =1.$$

代回 $u,v$ 得 $\int |fg|d\mu \le AB$。

证明用到积分的保序性、线性，以及非负可测函数积分为零则几乎处处为零。

5. 特例与等号

Cauchy–Schwarz

取 $p=q=2$，有限和形式化为

$$\sum _{i=1}^n|a_i{b}_i|\le \sqrt{\sum _{i=1}^n|a_i{|}^2}\sqrt{\sum _{i=1}^n|b_i{|}^2}.$$

等号

考虑 ${\sum }_{i=1}^n|a_i{b}_i|=AB$。

• 若 $A=0$ 或 $B=0$，两边都是 $0$，等号成立。
• 若 $A,B>0$，求和后等号成立当且仅当每个 $i$ 都使 Young 不等式取等号，即 $x_i^p=y_i^q$。换回原变量，

$$\frac{|a_i{|}^p}{{\sum }_{j=1}^n|a_j{|}^p}=\frac{|b_i{|}^q}{{\sum }_{j=1}^n|b_j{|}^q}\text{对所有 }i.$$

归一化之后，$|a_i{|}^p$ 与 $|b_i{|}^q$ 逐项相等。