级数

• 1. 前置
• 2. 定义
  • 2.1. 广义求和定义的兼容性证明 (Consistency Proof)
    • 2.1.1. 绝对可和情形 (Absolute Summability)
    • 2.1.2. 广义可和情形 (Generalized Summability)
• 3. 性质

1. 前置

• 非负级数

2. 定义

若没有额外说明，则以下默认$a_i,b_i,f\in {\overline{\mathbb{R}}}^{\ast }$

绝对可和:设 $f:X\to \overline{\mathbb{R}}$。若其绝对值构成的非负级数收敛，即：${\sum }_{x\in X}|f(x)|={\sup }_{K\subseteq X,|K|<\infty }{\sum }_{x\in K}|f(x)|<+\infty$
则称 $f$ 在 $X$ 上是绝对可和的。

一般项的定义对于绝对可和的函数，我们可以将其拆分为正部和负部：正部：$f^{+}(x)=\max \{f(x),0\}$负部：$f^{-}(x)=\max \{-f(x),0\}$显然 $f^{+}$ 和 $f^{-}$ 都是非负函数，且 $f=f^{+}-f^{-}$。我们定义：

${\sum }_{x\in X}f(x):={\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)-{\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)$

绝对可和性保证这个差是良定义的。

广义可和 (Extended Summable):若 ${\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)$ 和 ${\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)$ 中至少有一个是有限的。则：${\sum }_{x\in X}f(x):={\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)-{\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)$可能为 $+\infty$ 或 $-\infty$。

2.1. 广义求和定义的兼容性证明 (Consistency Proof)

设 $X$ 为可数集合，$f:X\to \mathbb{R}$ 为定义在 $X$ 上的实值函数。
对于任何双射 $g:\mathbb{N}\to X$，我们定义级数的部分和为 $S_N={\sum }_{n=1}^{N}f(g(n))$。
我们要证明：
${\lim }_{N\to \infty }{S}_N={\sum }_{x\in X}f(x):={\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)-{\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)$

2.1.1. 绝对可和情形 (Absolute Summability)

条件： ${\sum }_{x\in X}|f(x)|<\infty$。这意味着 ${\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)$ 与 ${\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)$ 均为有限实数。

证明：
将函数分解为正部和负部 $f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x)$，其中 $f^{+},f^{-}\ge 0$。部分和可表示为：
$S_N={\sum }_{n=1}^N\left(f^{+}(g(n))-f^{-}(g(n))\right)={\sum }_{n=1}^N{f}^{+}(g(n))-{\sum }_{n=1}^N{f}^{-}(g(n))$

由于 $f^{+}$ 和 $f^{-}$ 是非负函数，且其在 $X$ 上的全集和收敛（分别为 $L^{+}$ 和 $L^{-}$），对于任何双射 $g$，非负级数的重排不改变其收敛性：

• ${\lim }_{N\to \infty }{\sum }_{n=1}^N{f}^{+}(g(n))={\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)=L^{+}$
• ${\lim }_{N\to \infty }{\sum }_{n=1}^N{f}^{-}(g(n))={\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)=L^{-}$

由极限的线性性质（有限实数减法法则）：
${\lim }_{N\to \infty }{S}_N=L^{+}-L^{-}={\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)-{\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)$

Q.E.D.

2.1.2. 广义可和情形 (Generalized Summability)

条件： 假设 ${\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)=+\infty$ 且 ${\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)=L<+\infty$（或反之）。

证明：
由于 $f^{-}(x)\ge 0$，对于任何有限子集 $\{g(1),\dots ,g(N)\}\subseteq X$，部分和始终满足：
${\sum }_{n=1}^N{f}^{-}(g(n))\le {\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)=L$
代入 $S_N$ 的分解式得到下界估计：
$S_N={\sum }_{n=1}^N{f}^{+}(g(n))-{\sum }_{n=1}^N{f}^{-}(g(n))\ge \left({\sum }_{n=1}^N{f}^{+}(g(n))\right)-L$

考察非负部分 $f^{+}$。由于 $g$ 是双射且 ${\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)=+\infty$，根据非负项级数的性质（其部分和序列单调递增）：
${\lim }_{N\to \infty }{\sum }_{n=1}^N{f}^{+}(g(n))={\sup }_{K\subset X,|K|<\infty }{\sum }_{x\in K}{f}^{+}(x)=+\infty$

利用扩展实数的运算性质，若 $A_N\to +\infty$ 且 $B_N\le L$（$L$ 为常数），则：
${\lim }_{N\to \infty }{S}_N\ge {\lim }_{N\to \infty }\left({\sum }_{n=1}^N{f}^{+}(g(n))-L\right)=(+\infty )-L=+\infty$
同理可证 $\sum f^{+}<\infty ,\sum f^{-}=\infty$ 时极限为 $-\infty$。

Q.E.D.

3. 性质

1. 若一个函数（或族）是绝对可和的，那么它至多在可数个点上非零。