欧几里得空间中的嵌入子流形

• 定义
• 引理及其证明
• 证明
• 几何直观

定义

Definition. Let $\mathcal{E}={\mathbb{R}}^d$. A non-empty subset $\mathcal{M}$ of $\mathcal{E}$ is a (smooth) embedded submanifold of $\mathcal{E}$ of dimension $n$ if either

1. $n=d$ and $\mathcal{M}$ is open in $\mathcal{E}$—we also call this an open submanifold; or
2. $n=d-k$ for some $k\ge 1$ and, for each $x\in \mathcal{M}$, there exists a neighborhood
   $U$ of $x$ in $\mathcal{E}$ and a smooth function $h:U\to {\mathbb{R}}^k$ such that
   (a) If $y$ is in $U$, then $h(y)=0$ if and only if $y\in \mathcal{M}$; and
   (b) rank $Dh(x)=k$.
   Such a function $h$ is called a local defining function for $\mathcal{M}$ at $x$.

If $\mathcal{M}$ is a linear (sub)space, we also call it a linear manifold.

Proposition. 上述定义的嵌入子流形是光滑流形。

要证明上述命题，需要几个引理。

引理及其证明

Lemma. (Inverse function theorem). Suppose $U\subseteq \mathcal{E}$ and $V\subseteq \mathcal{F}$ are open subsets of linear spaces of the same dimension, and $F:U\to V$ is smooth. If $DF(x)$ is invertible at some point $x\in U$, then there exist neighborhoods $U^{\prime }\subseteq U$ of $x$ and $V^{\prime }\subseteq V$ of $F(x)$ such that $F{|}_{U^{\prime }}:U^{\prime }\to V^{\prime }$ (the restriction of $F$ to $U^{\prime }$ and $V^{\prime }$) is a diffeomorphism. 即光滑函数如果的雅可比矩阵如果可逆，则存在局部微分同胚。

Lemma.(嵌入子流形的等价定义) 设 $\mathcal{E}$ 是一个 $d$ 维线性空间。$\mathcal{E}$ 的子集 $\mathcal{M}$ 是 $\mathcal{E}$ 的维数为 $n=d-k$ 的嵌入子流形，当且仅当对于每个 $x\in \mathcal{M}$，存在 $x$ 在 $\mathcal{E}$ 中的邻域 $U$，${\mathbb{R}}^d$ 中的开集 $V$ 以及微分同胚映射 $F:U\to V$，使得 $F(\mathcal{M}\cap U)=E\cap V$，其中 $E=\{y\in {\mathbb{R}}^d:y_{n+1}=\cdots =y_d=0\}$ 是 ${\mathbb{R}}^d$ 的线性子空间。

$\Rightarrow$（必要性）

对于任意$x\in \mathcal{M}$, 设嵌入子流形定义中的邻域和局部定义函数分别为$U^{\prime \prime }$和$h$

因为$rank(Dh(x))=k$，所以$Dh(x)$是一个$k\times d$的行满纸矩阵

$$Dh(x)=\left(\begin{array}{cc}{A}_{k\times d-k}& B_{k\times k}\end{array}\right)$$

通过调整$(y_1,y_2,\cdots ,y_d)$的顺序，使得$B$为可逆矩阵。 这样调整的可行性可以考虑在进入$h$前乘以一个置换矩阵，而置换矩阵都是微分同胚映射。

构造一个$F(y)=(y_1,y_2,\cdots ,y_{d-k},h_1(y),h_2(y),\cdots ,h_k(y))$

$$DF(y)=\left(\begin{array}{cc}{I}_{d-k}& 0\\ A& B\end{array}\right)$$

显然$DF(y)$是可逆的，根据逆映射定理，存在$U^{\prime }\subseteq {\mathbb{R}}^d$和$V^{\prime }\subseteq {\mathbb{R}}^d$，使得$F{|}_{U^{\prime }}:U^{\prime }\to V^{\prime }$是微分同胚。

令$U=U^{\prime }\cap U^{\prime \prime }$，$V=F(U)=V^{\prime }\cap F(U^{\prime \prime })$，则$F{|}_U:U\to V$是微分同胚。

$F(\mathcal{M}\cap U)\subseteq E\cap V$ 显然

$F(\mathcal{M}\cap U)\supseteq E\cap V$ ，$\forall z\in E\cap V$，$\exists y\in U$ s.t. $z=F(y)$,$y\in U^{\prime \prime }$, 因为 $z=F(y)\in E,h(y)=0$, 所以 $y\in \mathcal{M}$，所以$y\in \mathcal{M}\cap U$, 因此$z=F(y)\in F(\mathcal{M}\cap U)$

$\Leftarrow$ 待证明（后面的证明不需要这个充分性）

Lemma. $T_{x}M$ is a linear space, and $Ker(Dh(x))=T_{x}M$

proof:

$\forall v\in T_{x}M$,存在一个$M$上的光滑曲线$c:(-1,1)\to M,c(0)=x$ s.t. $c^{\prime }(0)=v$。

因为$\forall y\in M\cap U,h(y)=0$，所以$h(c(t))=0$，对$t$求导，得到
$\frac{d}{dt}{|}_{t=0}h(c(t))=Dh(c(0))(c^{\prime }(0))=0$, 所以$c^{\prime }(0)=v\in Ker(Dh(x))$

因此$T_{x}M\subset Ker(Dh(x))$。

所以tangent space $T_{x}M$是$Ker(Dh(x))$的一个子集。注意这个子集现在还不一定是一个线性空间，只有在证明了$T_{x}M=Ker(Dh(x))$之后，$T_{x}M$才能说是一个线性空间。下面就去证明$T_{x}M=Ker(Dh(x))$

根据嵌入子流形的等价定义，存在$U^{\prime }\subseteq {\mathbb{R}}^d$和$V^{\prime }\subseteq {\mathbb{R}}^d$，使得$F{|}_{U^{\prime }}:U^{\prime }\to V^{\prime }$是微分同胚，$F(\mathcal{M}\cap U^{\prime })=E\cap V^{\prime }$，其中 $E=\{y\in {\mathbb{R}}^d:y_{n+1}=\cdots =y_d=0\}$ 是 ${\mathbb{R}}^d$ 的线性子空间。

构造曲线

$$\gamma (t)=F(x)+t\left[\begin{array}{c}v\\ 0\end{array}\right],v\in {\mathbb{R}}^{d-k},0\in {\mathbb{R}}^k$$ $$c(t)=F^{-1}(\gamma (t))$$

因为$F$是微分同胚，且$\gamma (t)$光滑，所以$c(t)$光滑。

$$c^{\prime }(0)=D{F}^{-1}(F(x))\left[\begin{array}{c}v\\ 0\end{array}\right]=(DF{)}^{-1}(F(x))\left[\begin{array}{c}v\\ 0\end{array}\right]$$

有$D{F}^{-1}$的线性性、可逆性，以及$v$的任意性，所以$T_{x}M$包含一个维度与$Ker(Dh(x))$相同的线性子空间。因此$T_{x}M=Ker(Dh(x))$。

证明

证明分以下几步骤

• 证明$\mathcal{M}$是Hausdorff 和second countable的拓扑空间
• 证明$\mathcal{M}$是locally euclidean的拓扑空间,分类讨论
  • (a) $\mathcal{M}$是d维open submanifold
  • (b) $\mathcal{M}$是d-k维 submanifold

${\mathbb{R}}^d$是内积空间，内积可以诱导范数，范数可以诱导度量，度量可以诱导拓扑。

${\mathbb{R}}^d$是度量空间,而度量空间都是Hausdorff和second countable的，所以${\mathbb{R}}^d$是Hausdorff和second countable的。

$\mathcal{M}$是拓扑空间${\mathbb{R}}^d$的子集，$\mathcal{M}$是${\mathbb{R}}^d$的子空间(相对拓扑)，子空间会继承原空间的Hausdorff和second countable性质，因此$\mathcal{M}$是Hausdorff和second countable的。

下面证明local euclidean性质

若$\mathcal{M}$是d维open submanifold，则$\mathcal{M}$是locally euclidean的，取恒等映射作为local defining function。容易验证满足local euclidean的定义。

若$\mathcal{M}$是d-k维 submanifold,

根据前面的定义等价性引理，存在$U^{\prime }\subseteq {\mathbb{R}}^d$和$V^{\prime }\subseteq {\mathbb{R}}^d$，使得$F{|}_{U^{\prime }}:U^{\prime }\to V^{\prime }$是微分同胚，$F(\mathcal{M}\cap U^{\prime })=E\cap V^{\prime }$，其中 $E=\{y\in {\mathbb{R}}^d:y_{d-k+1}=\cdots =y_d=0\}$ 是 ${\mathbb{R}}^d$ 的线性子空间。

构造一个同构映射(向量空间之间的同构)

$$L:E\to {\mathbb{R}}^k,L(y_1,y_2,\cdots ,y_{d-k},0,0,\cdots ,0)=(y_1,y_2,\cdots ,y_{d-k})$$

$L$是同构映射，并且易得$L$也是同胚映射(微分同胚)

构造chart

$$\varphi =L\circ F{|}_{U^{\prime }}$$

$L$和$F{|}_{U^{\prime }}$都是同胚映射，所以$\varphi$也是同胚映射(微分同胚)。

$\mathcal{M}\cap U^{\prime }$是$\mathcal{M}$的开集(相对开集)，$\varphi [\mathcal{M}\cap U^{\prime }]=L[E\cap V^{\prime }]$是${\mathbb{R}}^k$的开集。

因此chart 为$(\mathcal{M}\cap U^{\prime },\varphi )$，满足local euclidean的定义。

综上，$\mathcal{M}$是(光滑)流形。

几何直观

考虑三维空间中的一个球$M=\{x\in {\mathbb{R}}^3\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\}$

球上一点$p$有一个切平面，切平面是二维的

然后将切平面旋转称一个与xy轴平面平行的平面

从点$p$的邻域向切平面做投影，然后经过旋转变换就得就得到了xy平面上的一个开集

可以想象得到，局部投影是同胚的，旋转变化是可逆的线性变换，因此也是同胚的，同胚复合也是同胚的。所以我们找到了这个chart。