SE(3)

1. 前置

• 群论(群作用)

2. 等变与不变

设 $G$ 是一个群，$X$ 和 $Y$ 是两个集合。${\rho }_X:G\times X\to X$ 是 $G$ 在 $X$ 上的作用，记作 $g\cdot x$。${\rho }_Y:G\times Y\to Y$ 是 $G$ 在 $Y$ 上的作用，记作 $g\cdot y$。

一个映射 $\varphi :X\to Y$ 被称为 $G$-等变的，如果对于所有的 $g\in G$ 和 $x\in X$，满足：$\varphi (g\cdot x)=g\cdot \varphi (x)$

一个映射 $\psi :X\to Y$ 被称为 $G$-不变的，如果对于所有的 $g\in G$ 和 $x\in X$，满足：$\psi (g\cdot x)=\psi (x)$

3. Group in ${\mathbb{R}}^3$

• $GL(3)=\{M\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}\mid M\text{ is invertible}\}$
• $O(3)=\{M\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}\mid M{M}^T=M^{T}M=I\}$
• $SO(3)=\{M\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}\mid M{M}^T=M^{T}M=I\wedge \det (M)=1\}$

$SO(3)<O(3)<GL(3)$

• $SE(3)=\{f\mid f(x)=Rx+t\wedge R\in SO(3)\wedge t\in {\mathbb{R}}^3\}$

$SO(3)<SE(3)$

4. SE(3)-Equivariance（(Simplified Form)）

当输入空间 $X$ 和输出空间 $Y$ 均为 $3\text{D}$ 坐标空间 ${\mathbb{R}}^3$，且群作用 $\rho$ 均为标准的坐标变换时：设 $T\in SE(3)$ 是一个变换算子，定义为 $T(\mathbf{x})=R\mathbf{x}+\mathbf{t}$。

等变性 (Equivariance)：映射 $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ 是 $SE(3)$-等变的，如果：

$f(T(\mathbf{x}))=T(f(\mathbf{x}))\forall T\in SE(3)$

当输入和输出是点云 $\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{n\times 3}$ 时，其中每一行 ${\mathbf{x}}_i^T$ 代表一个点的坐标。群作用定义：对于 $T=(R,\mathbf{t})\in SE(3)$，它在点云上的作用 $T(\mathbf{X})$ 定义为对每个点执行相同的变换：

$T(\mathbf{X})=\mathbf{X}{R}^T+1{\mathbf{t}}^T$

（注：这里 $1\in {\mathbb{R}}^n$ 是全 1 向量，确保平移 $\mathbf{t}$ 加到每一个点上）。等变性定义：若函数 $F:{\mathbb{R}}^{n\times 3}\to {\mathbb{R}}^{n\times 3}$ 满足：$F(T(\mathbf{X}))=T(F(\mathbf{X}))$则称该函数是点云上的 $SE(3)$-等变函数。