Tangent space of smooth manifold(光滑流形的切空间)

文中chart都是指从某一个极大图册(maximal atlas)中取。

直观描述：$M$是$n$维光滑流形，$p\in M$，$M$在$p$处的切空间$T_{p}M$是$M$在$p$处的所有切向量的集合。

如何形式化地描述流形上的切向量呢？

考虑${\mathbb{R}}^3$中一个曲面，$p$是曲面上的一个点。一条经过$p$的曲线$c(t)$满足，$c(0)=p$，则$c(t)$在$p$处的导数$c^{\prime }(0)$是点$p$的一个切向量。

Tangent space

$M$是$n$维光滑流形，$p\in M$，$c:(-1,1)\to M$是$p$点处的光滑曲线，$c(0)=p$，$(U,\varphi )$是$p$点处的一个chart, $f_{\varphi ,c}=\varphi \circ c:(-1,1)\to {\mathbb{R}}^n,f_{\varphi ,c}^{\prime }(0)=\frac{d}{dt}\varphi \circ c(t){\mid }_{t=0}$，

$\mathcal{A}=\{c:(-1,1)\to M\mid c\in {\mathcal{C}}^{\infty },c(0)=p\}$

定义一种关系$\sim$，$c_1,c_2\in \mathcal{A}$，$c_1\sim c_2$当且仅当存在chart $(U,\varphi )$，使得$f_{\varphi ,c_1}^{\prime }(0)=f_{\varphi ,c_2}^{\prime }(0)$, 显然$\sim$是等价关系。

上述等价关系与chart的选取无关。假设$(V,\psi )$是$p$点处的另一个chart,我们验证$f_{\psi ,c_1}^{\prime }(0)=f_{\psi ,c_2}^{\prime }(0)$

$f_{\psi ,c_1}(t)=\psi \circ c_1(t)=\psi \circ {\varphi }^{-1}\circ \varphi \circ c_1(t)$

$f_{\psi ,c_2}(t)=\psi \circ c_2(t)=\psi \circ {\varphi }^{-1}\circ \varphi \circ c_2(t)$

因此$f_{\psi ,c_1}^{\prime }(0)=f_{\psi ,c_2}^{\prime }(0)$，即$c_1\sim c_2$与chart的选取无关。

$\mathcal{A}$在等价关系$\sim$下的所有等价类组成集合记作$T_{p}M$，$T_{p}M$是$M$在$p$处的切空间(Tangent space)。一个曲线$c$所在的等价类记作$[c]$

对于点$p$的一个chart $(U,\varphi )$，定义映射 $\mu :T_{p}M\to {\mathbb{R}}^n$，$\mu ([c])=f_{\varphi ,c}^{\prime }(0)=\frac{d}{dt}\varphi \circ c(t){\mid }_{t=0}$

验证$\mu$是双射，单射显然，满射考虑：曲线${\varphi }^{-1}(\varphi (x)+tv)$，其导数为$v$,由$v$的任意性可得满射。

在切空间$T_{p}M$上定义加法和标量乘法

$[c_1]+[c_2]=[{\mu }^{-1}(\mu ([c_1])+\mu ([c_2]))]$

$a[c]=[{\mu }^{-1}(a\mu ([c]))]$

易得$\mu$是同构映射(向量空间角度的同构映射，即为线性映射)，因此$T_{p}M$是向量空间。

因为同构，所以可以将$T_{p}M$中的$[c]$等价地记作(rename) $\frac{d}{dt}\varphi \circ c(t){\mid }_{t=0}$, 切空间中的元素称为切向量。

tangent bundle(切丛) of $M$ is the union of all the tangent spaces of $M$: $TM={\bigcup }_{p\in M}{T}_{p}M=\{(p,v)\mid p\in M,v\in T_{p}M\}$.

retraction(收缩映射): A retraction on a manifold $M$ is a smooth map $R:TM\to M:(x,v)\to R_x(v)$ such that each curve $c(t)=R_x(tv)$ satisfies $c(0)=x$ and $c^{\prime }(0)=v$.