Stieltjes积分

前置

• 三大积分收敛定理
• L-measure

定义

L-S 积分

设 $F$ 是 ${\mathbb{R}}^d$ 上的 L-S 函数，${\mu }_F$ 是由 $F$ 诱导的 L-S 测度，$g$ 是 Borel 可测函数，若

$(\text{L-S}){\int }_{{\mathbb{R}}^d}g(\mathbf{x})\mathrm{d}F(\mathbf{x}):={\int }_{{\mathbb{R}}^d}g(\mathbf{x})\mathrm{d}{\mu }_F(\mathbf{x})$

存在，则称之为 $g$ 关于 $F$ 的 Lebesgue-Stieltjes 积分，简称 L-S 积分。

• 若取 $F(\mathbf{x})=x_1{x}_2\cdots x_d$，则 ${\mu }_F=\lambda$ 为 $\mathcal{B}({\mathbb{R}}^d)$ 上的 L 测度，

$(\text{L}){\int }_{{\mathbb{R}}^d}g(\mathbf{x})\mathrm{d}\mathbf{x}:={\int }_{{\mathbb{R}}^d}g(\mathbf{x})\mathrm{d}\lambda (\mathbf{x})$

就是 $g$ 的狭义 L 积分。

• 当 $d=1,a,b\in \mathbb{R},a<b$ 时，通常将 $(\text{L-S}){\int }_{(a,b]}g(x)\mathrm{d}{\mu }_F(x)$ 写成 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}F(x)$。
• 当 $d=1,a,b\in \mathbb{R},a<b$ 时，通常将 $(\text{L}){\int }_{(a,b]}g(x)\mathrm{d}x$ 写成 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$。因为单点集的 L 测度为 0，所以还可以把 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 理解为 ${\int }_{[a,b]}g(x)\mathrm{d}x,{\int }_{[a,b)}g(x)\mathrm{d}x$ 或 ${\int }_{(a,b)}g(x)\mathrm{d}x$。

R-S 积分

本段恒设 $g:(\mathbf{a},\mathbf{b}]\to \mathbb{R}$ 为有界函数，$F:(\mathbf{a},\mathbf{b}]\to \mathbb{R}$为Lebesgue-Stieltjes函数（L-S函数）。

• 矩形：$(\mathbf{a},\mathbf{b}],a_i\le b_i$
• 分割：称$\mathbb{P}=\{J|,J\subseteq I\text{and }J\text{ is a rectangle}\}$为$I$的分割，若${⨄}_{J\in \mathbb{P}}J=I$,且 $\mathbb{P}$ 是有限集。
• $m_J(g):={\inf }_{x\in J}g(x)$
• $M_J(g):={\sup }_{x\in J}g(x)$
• Riemann-Stieltjes 下和: $l(g,F,\mathbb{P}):={\sum }_{J\in \mathbb{P}}{m}_J(g)\Delta F(J)$
• Riemann-Stieltjes 上和: $u(g,F,\mathbb{P}):={\sum }_{J\in \mathbb{P}}{M}_J(g)\Delta F(J)$
• 分割的加细：若对于 ${\mathbb{P}}_2$ 中的每一个矩形 $J^{\prime }\in {\mathbb{P}}_2$，都存在 ${\mathbb{P}}_1$ 中的一个矩形 $J\in {\mathbb{P}}_1$，使得 $J^{\prime }\subseteq J$，则称 ${\mathbb{P}}_2$ 是 ${\mathbb{P}}_1$ 的一个加细。

总可以构造两个分割的公共加细，$\mathbb{P}=\{J_1\cap J_2\mid J_1\in {\mathbb{P}}_1,J_2\in {\mathbb{P}}_2\}$。

引理
(i) $l(g,F;\mathbb{P})⩽u(g,F;\mathbb{P})$;
(ii) 设 ${\mathbb{P}}_1$ 和 ${\mathbb{P}}_2$ 都是 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 的分割, 若 ${\mathbb{P}}_2$ 是 ${\mathbb{P}}_1$ 的一个加细, 则
$l(g,F,{\mathbb{P}}_1)⩽l(g,F,{\mathbb{P}}_2),u(g,F,{\mathbb{P}}_1)⩾u(g,F,{\mathbb{P}}_2);$
(iii) 对 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 的任何两个分割 ${\mathbb{P}}_1$ 和 ${\mathbb{P}}_2$, 总有 $l(g,F,{\mathbb{P}}_1)⩽u(g,F,{\mathbb{P}}_2)$.

• 分别称
  $\underline{{\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}}g(x)\mathrm{d}F(x)=\sup \{l(g,F,\mathbb{P}):\mathbb{P}\in \mathcal{P}\},$

  $\overline{{\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}}g(x)\mathrm{d}F(x)=\inf \{u(g,F,\mathbb{P}):\mathbb{P}\in \mathcal{P}\}$

  为 $g$ 在 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 上关于 $F$ 的 Riemann-Stieltjes 下积分与 Riemann-Stieltjes 上积分.

  显然, $\underline{{\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}}g(x)\mathrm{d}F(x)⩽\overline{{\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}}g(x)\mathrm{d}F(x)$,

• 若进一步有
  $\underline{{\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}}g(x)\mathrm{d}F(x)=\overline{{\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}}g(x)\mathrm{d}F(x),$
  则称 $g$ 在 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 上关于 $F$ Riemann-Stieltjes 可积，简称 R-S 可积，并称此共同值为 $g$ 在 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 上关于 $F$ 的 R-S 积分，记为 $(\text{R-S}){\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}g(x)\mathrm{d}F(x)$, 其中 $g$ 称为被积函数 (integrand), $F$ 称为积分函数 (integrator).

反常R-积分

当 $g$ 在 ${\mathbb{R}}^d$ 上 L 可积时,

$(\mathrm{L}){\int }_{{\mathbb{R}}^d}g(x)\mathrm{d}x={\lim }_{\mathbf{a}\to -\infty ,\mathbf{b}\to \infty }(\mathrm{L}){\int }_{(\mathbf{a},\mathbf{b}]}g(x)\mathrm{d}x,$

但需要注意的是, 上式成立的根据是控制收敛定理.

与 L 积分不同的是, ${\mathbb{R}}^d$ 上的 R 积分不能用分割的方法来定义

下面定义反常 R-S 积分.

设 $g$ 是定义在 ${\mathbb{R}}^d$ 上的实值函数, 若对任意的 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]\subseteq {\mathbb{R}}^d$, (R-S) ${\int }_{(\mathbf{a},\mathbf{b}]}g(x)\mathrm{d}F(x)$ 都存在, 且

${\lim }_{\mathbf{a}\to -\infty ,\mathbf{b}\to \infty }(\text{R-S}){\int }_{(\mathbf{a},\mathbf{b}]}g(x)\mathrm{d}F(x)$

存在, 则称此极限为 $g$ 在 ${\mathbb{R}}^d$ 上关于 $F$ 的 R-S 积分, 记作 (R-S) ${\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)\mathrm{d}F(x)$.

若此积分为一实数, 则进一步称 $g$ 在 ${\mathbb{R}}^d$ 上关于 $F$ R-S 可积.

性质

1. 设 r.v. $X\sim F(x)$, 则对任意的 Borel 可测函数 $g$, 若 $g(X)$ 可积, 则 $\mathrm{E}g(X)=(\text{L-S}){\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)\mathrm{d}F(x).$

2. 设 $g,h:(\mathbf{a},\mathbf{b}]\to \mathbb{R}$ 都是有界函数，且在 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 上关于 $F$ 都 R-S 可积，则

   (i) (齐性) 对任意的 $c\in \mathbb{R}$, $cg$ 在 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 上关于 $F$ 也 R-S 可积，且

   $(\text{R-S}){\int }_a^{b}cg(x)\mathrm{d}F(x)=c(\text{R-S}){\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}F(x);$

   (ii) (关于被积函数具有可加性) $g+h$ 在 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 上关于 $F$ 也 R-S 可积，且

   $(\text{R-S}){\int }_a^b[g(x)+h(x)]\mathrm{d}F(x)=(\text{R-S}){\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}F(x)+(\text{R-S}){\int }_a^{b}h(x)\mathrm{d}F(x);$

   (iii) (单调性) $g⩽h\Rightarrow (\text{R-S}){\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}F(x)⩽(\text{R-S}){\int }_a^{b}h(x)\mathrm{d}F(x).$

3. (关于积分区间具有可加性) 设$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\in {\mathbb{R}}^1$，设 $\mathbf{c}\in (\mathbf{a},\mathbf{b}),g$ 在 $(\mathbf{a},\mathbf{c}]$ 及 $(\mathbf{c},\mathbf{b}]$ 上都关于 $F$ R-S 可积, 则 $g$ 在 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 上关于 $F$ 也 R-S 可积, 且
   $(\text{R-S}){\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}g(x)\mathrm{d}F(x)=(\text{R-S}){\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{c}}g(x)\mathrm{d}F(x)+(\text{R-S}){\int }_{\mathbf{c}}^{\mathbf{b}}g(x)\mathrm{d}F(x).$

4. 多维 R-S 积分的可加性: 区域剖分设超矩形 $I=(\mathbf{a},\mathbf{b}]={\prod }_{i=1}^d(a_i,b_i]$ 被一个垂直于第 $k$ 个坐标轴的超平面 $x_k=c_k$（其中 $a_k<c_k<b_k$）划分为两个互不相交的超矩形 $I_1$ 和 $I_2$：$I_1=(a_1,b_1]\times \cdots \times (a_k,c_k]\times \cdots \times (a_d,b_d]$,$I_2=(a_1,b_1]\times \cdots \times (c_k,b_k]\times \cdots \times (a_d,b_d]$，此时显然有 $I=I_1\cup I_2$ 且 $I_1\cap I_2=\varnothing$。$g$ 是定义在 $I$ 上的有界函数。若 $g$ 在 $I_1$ 和 $I_2$ 上关于 $F$ 均 R-S 可积，则 $g$ 在 $I$ 上也关于 $F$ R-S 可积，且：${\int }_{I}g(\mathbf{x})\mathrm{d}F(\mathbf{x})={\int }_{I_1}g(\mathbf{x})\mathrm{d}F(\mathbf{x})+{\int }_{I_2}g(\mathbf{x})\mathrm{d}F(\mathbf{x})$

5. $g$ 在 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 上关于 $F$ R-S 可积当且仅当 $\forall \epsilon >0$, 存在 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 的一个分割 $\mathbb{P}$, 使得
   $u(g,F,\mathbb{P})-l(g,F,\mathbb{P})<\epsilon .$

6. 若 $g$ 在 $(a,b]$ 上连续，$F$ 在 $(a,b]$ 上单调不减，则 $g$ 在 $(a,b]$ 关于 $F$ R-S 可积。

7. 若 $g$ 在 $(a,b]$ 上单调，$F$ 在 $(a,b]$ 上单调不减且连续，则 $g$ 在 $(a,b]$ 关于 $F$ R-S 可积。

8. $g$ 在 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 上 R 可积当且仅当 $g$ 关于 L 测度 $\lambda$ 几乎处处连续。(不连续点为零测集)

9. 若 $g$ 在 $(a,b]$ 上单调有界，则 $g$ 在 $(a,b]$ 上 R 可积。

10. 若 $g$ 在 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 上有界，且不连续点的个数至多可数，则 $g$ 在 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 上 R 可积。

11. 若 $g$ 在 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 上 R 可积，则
    (i) $g$ 在 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 上 L 可积；
    (ii) (L) ${\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}g(x)\text{d}x=\text{(R)}{\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}g(x)\text{d}x$.

12. L可积不一定R可积分，考虑狄利克雷函数。

13. 设 $F$ 是 $\mathbb{R}$ 上的 L-S 函数，若 $g$ 在 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 上关于 $F$ R-S 可积，则
    (i) $g$ 在 $(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 上关于 $F$ L-S 可积；
    (ii) (L-S) ${\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}g(x)\text{d}F(x)=\text{(R-S)}{\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}g(x)\text{d}F(x)$.

14. 设连续函数 $g$ 在 ${\mathbb{R}}^d$ 上关于 $F$ L-S 可积，则 $g$ 在 ${\mathbb{R}}^d$ 上关于 $F$ R-S 可积，且
    $(\text{L-S}){\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)\mathrm{d}F(x)=(\text{R-S}){\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)\mathrm{d}F(x).$