一维离散分布的例子

前置

• 分布函数的类型及分解

正文

常见的一维离散分布

分布名称	记号	参数范围	分布列
退化分布	${\delta }_a$	$a\in \mathbb{R}$	$P(X=a)=1$
Poisson 分布	$\mathrm{Po}(\lambda )$	$\lambda >0$	$P(X=k)={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!},k=0,1,2,\dots$
Bernoulli 分布	$\mathrm{Be}(p)$	$0<p<1$	$P(X=x)=p^x(1-p{)}^{1-x},x\in \{0,1\}$
二项分布	$\mathrm{Bin}(n,p)$	$n\in \mathbb{N},0<p<1$	$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\dots ,n$
几何分布	$\mathrm{Ge}(p)$	$0<p<1$	$P(X=k)=p(1-p{)}^{k-1},k=1,2,\dots$

分布列的验证

设 $S$ 是至多可数集。函数 $q:S\to [0,1]$ 是分布列，只需验证

$$q(x)⩾0(x\in S),\sum _{x\in S}q(x)=1.$$

事实上，此时

$$P(A):=\sum _{x\in A}q(x),A\subseteq S,$$

定义了 $(S,\mathcal{P}(S))$ 上的概率测度，而恒等映射
$X(x)=x$ 的分布列正是 $q$。

为什么不需要另行验证式 (8.24)？

表格只给出了候选分布列 $q$，并未预先指定分布函数 $F$。一旦验证
$q⩾0$ 且 ${\sum }_{x\in S}q(x)=1$，上述概率测度所诱导的分布函数
自动满足

$$F(t)=P((-\infty ,t])=\sum _{x\in S}q(x)I_{[x,\infty )}(t).$$

因此，式 (8.24) 是由分布列自动推出的。只有同时预先给定候选
$F$ 和 $q$ 时，才需要另外验证二者满足该式。

表中各分布列的非负性由参数范围立即得到，
归一性验证如下：

1. 退化分布：其支撑集为 $\{a\}$，故

   $$\sum _{x\in \{a\}}P(X=x)=P(X=a)=1.$$

2. Poisson 分布：利用指数函数的幂级数展开，

   $$\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}={\mathrm{e}}^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\lambda }^k}{k!}={\mathrm{e}}^{-\lambda }{\mathrm{e}}^{\lambda }=1.$$

3. Bernoulli 分布：

   $$\sum _{x\in \{0,1\}}{p}^x(1-p{)}^{1-x}=(1-p)+p=1.$$

4. 二项分布：由二项式定理，

   $$\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}=(p+(1-p){)}^n=1.$$

5. 几何分布：由于 $0<1-p<1$，利用等比级数可得

   $$\sum _{k=1}^{\infty }p(1-p{)}^{k-1}=p\sum _{j=0}^{\infty }(1-p{)}^j=\frac{p}{1-(1-p)}=1.$$

因此，表中的函数均满足分布列的条件。