一维连续分布的例子

前置

• 分布函数的类型及分解

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此内容由AI生成，尚未完全审查，证明尚不充分：函数分段连续性、积分计算过程。

正文

常见的一维绝对连续分布

分布名称	符号	参数范围	密度函数
均匀分布	$\text{U}(a,b)$	$-\infty <a<b<\infty$	$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a<x<b,\\ 0,& \text{其他}\end{array}$
指数分布	$\text{Exp}(\lambda )$	$\lambda >0$	$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x>0,\\ 0,& x⩽0\end{array}$
正态分布	$\text{N}(\mu ,{\sigma }^2)$	$\mu \in \mathbb{R},\sigma >0$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\mathrm{e}}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$
$\Gamma$ 分布	$\Gamma (\alpha ,\lambda )$	$\alpha >0,\lambda >0$	$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x>0,\\ 0,& x⩽0\end{array}$
Cauchy 分布	$\text{C}(\mu ,\lambda )$	$\lambda >0,\mu \in \mathbb{R}$	$f(x)=\frac{\lambda }{\pi [{\lambda }^2+(x-\mu {)}^2]}$
三角分布			$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-|x|,& |x|<1,\\ 0,& \text{其他}\end{array}$
Pólya 分布			$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{\pi x^2},& x\ne 0,\\ \frac{1}{2\pi },& x=0\end{array}$

密度函数的验证

函数 $f:\mathbb{R}\to [0,\infty )$ 是概率密度函数，只需验证它是 Borel
可测函数且

$${\int }_{\mathbb{R}}f(x)\mathrm{d}x=1.$$

表中各函数均由连续函数在 Borel 集上分段定义，因而 Borel 可测；其非负性由
参数范围和函数表达式立即得到。以下验证归一性。

1. 均匀分布：

   $${\int }_{\mathbb{R}}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^b\frac{1}{b-a}\mathrm{d}x=1.$$

2. 指数分布：

   $${\int }_{\mathbb{R}}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\infty }\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x={\left[-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}\right]}_0^{\infty }=1.$$

3. 正态分布：令 $u=(x-\mu )/\sigma$，利用 Gaussian 积分可得

   $$\begin{array}{rl}{\int }_{\mathbb{R}}f(x)\mathrm{d}x& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-u^2/2}\mathrm{d}u\\ & =1.\end{array}$$

4. $\Gamma$ 分布：令 $u=\lambda x$，由 Gamma 函数的定义，

   $$\begin{array}{rl}{\int }_{\mathbb{R}}f(x)\mathrm{d}x& =\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\int }_0^{\infty }{x}^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{\int }_0^{\infty }{u}^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{d}u\\ & =1.\end{array}$$

5. Cauchy 分布：令 $u=(x-\mu )/\lambda$，则

   $$\begin{array}{rl}{\int }_{\mathbb{R}}f(x)\mathrm{d}x& =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{1+u^2}\mathrm{d}u\\ & =\frac{1}{\pi }{\left[\arctan u\right]}_{-\infty }^{\infty }\\ & =1.\end{array}$$

6. 三角分布：由偶对称性，

   $${\int }_{\mathbb{R}}f(x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^1(1-x)\mathrm{d}x=1.$$

7. Pólya 分布：由于 $1-\cos x⩾0$，故 $f⩾0$。
   又由分部积分和 Dirichlet 积分
   ${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}$，

   $$\begin{array}{rl}{\int }_{\mathbb{R}}f(x)\mathrm{d}x& =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\infty }\frac{1-\cos x}{x^2}\mathrm{d}x\\ & =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x\\ & =1.\end{array}$$

   其中 $f(0)=1/(2\pi )$ 是由
   ${\lim }_{x\to 0}(1-\cos x)/(\pi x^2)=1/(2\pi )$ 给出的连续延拓；单点处的
   取值不影响积分。