三大积分收敛定理

• 1. 前置
• 2. 定义
• 3. 性质
  • 3.1. 单调收敛定理
    • 3.1.1. 非负可测函数的单调收敛定理
    • 3.1.2. Levi 定理
    • 3.1.3. 逐项积分
    • 3.1.4. 绝对连续性
    • 3.1.5. 单调收敛定理
    • 3.1.6. 积分变换定理
  • 3.2. Fatou引理
  • 3.3. 控制收敛定理
    • 3.3.1. 离散参数的控制收敛定理定理
    • 3.3.2. 连续参数的控制收敛定理

本节恒设$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$为给定的测度空间，所有函数都是定义在$\Omega$上的广义实值函数

1. 前置

• Lebesgue-integral

2. 定义

3. 性质

3.1. 单调收敛定理

3.1.1. 非负可测函数的单调收敛定理

引理 7.17 设 $\{f,f_n,n⩾1\}\subset {\overline{\mathcal{L}}}^{+}(\Omega ,\mathcal{F})$.

(i) 若 $f_n\uparrow f$ a.e., 则 $\int f_n\mathrm{d}\mu \uparrow \int f\mathrm{d}\mu$;

(ii) 若 $f_1$ 可积, $f_n\downarrow f$ a.e., 则 $\int f_n\mathrm{d}\mu \downarrow \int f\mathrm{d}\mu$.

3.1.2. Levi 定理

设 $\{f_n,n⩾1\}\subset {\overline{\mathcal{L}}}^{+}(\Omega ,\mathcal{F})$, 则

$\int \left({\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n\right)\mathrm{d}\mu ={\sum }_{n=1}^{\infty }\int f_n\mathrm{d}\mu .$

3.1.3. 逐项积分

若 $\{f_n,n⩾1\}\subset \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$ 满足 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\int f_n^{+}\mathrm{d}\mu <\infty$ 或 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\int f_n^{-}\mathrm{d}\mu <\infty$, 则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n$ a.e. 有意义, ${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n$ 的积分存在, 且

$\int \left({\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n\right)\mathrm{d}\mu ={\sum }_{n=1}^{\infty }\int f_n\mathrm{d}\mu .$

3.1.4. 绝对连续性

若 $f\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$ 可积, 则 $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta >0$, 只要 $A\in \mathcal{F}$ 满足 $\mu (A)<\delta$, 就有${\int }_A|f|\mathrm{d}\mu <\epsilon .$

3.1.5. 单调收敛定理

设 $\{f_n,n⩾1\}\subset \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$ 均积分存在.
(i) 若 $f_n\uparrow f$ a.e., $\int f_1\mathrm{d}\mu >-\infty$, 则 $f$ 的积分存在, 且 $\int f_n\mathrm{d}\mu \uparrow \int f\mathrm{d}\mu$;
(ii) 若 $f_n\downarrow f$ a.e., $\int f_1\mathrm{d}\mu <\infty$, 则 $f$ 的积分存在, 且 $\int f_n\mathrm{d}\mu \downarrow \int f\mathrm{d}\mu$.

3.1.6. 积分变换定理

设 $(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$ 为测度空间, $f$ 为从 $(\Omega ,\mathcal{F})$ 到 $(E,\mathcal{E})$ 的可测映射, $\mu \circ f^{-1}$ 为 $\mu$ 在 $f$ 下的像测度. 若 $g\in \overline{\mathcal{L}}(E,\mathcal{E})$, 则
$g$ 关于 $\mu \circ f^{-1}$ 的积分存在 (相应地, 可积), 当且仅当 $g\circ f$ 关于 $\mu$ 的积分存在 (相应地, 可积). 此外,
${\int }_{f^{-1}(B)}g\circ f\mathrm{d}\mu ={\int }_{B}g\mathrm{d}\mu \circ f^{-1},B\in \mathcal{E}.$

3.2. Fatou引理

设 $\{g,h,f_n,n⩾1\}\subset \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$ 均积分存在.

(i) 若 $\int g\mathrm{d}\mu >-\infty$, 且对每个 $n⩾1$ 都有 $f_n⩾g$ a.e., 则 $\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{f}_n$ 的积分存在, 且

$\int \underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{f}_n\mathrm{d}\mu ⩽\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}\int f_n\mathrm{d}\mu ;$

(ii) 若 $\int h\mathrm{d}\mu <\infty$, 且对每个 $n⩾1$ 都有 $f_n⩽h$ a.e., 则 $\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{f}_n$ 的积分存在, 且

$\int \underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{f}_n\mathrm{d}\mu ⩾\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}\int f_n\mathrm{d}\mu .$

3.3. 控制收敛定理

3.3.1. 离散参数的控制收敛定理定理

设 $\{f_n,n⩾1\}\subset \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$, 且存在 $f:\Omega \to \mathbb{R}$ 使得 $f_n\stackrel{\text{a.e.}}{\to }f$。
(i) 若存在可积的广义实值函数 $g$ 和 $h$, 使对每个 $n⩾1$ 都有 $g⩽f_n⩽h\text{ a.e.}$, 则 $f$ 可积, 且 $\int f_n\mathrm{d}\mu \to \int f\mathrm{d}\mu$;
(ii) 若存在可积的非负广义实值函数 $\phi$, 使 $|f_n|⩽\phi \text{ a.e.},n⩾1$, 则 $f$ 可积, 且 ${\lim }_{n\to \infty }\int |f_n-f|\mathrm{d}\mu =0$, 因而 ${\lim }_{n\to \infty }\int f_n\mathrm{d}\mu =\int f\mathrm{d}\mu$。

推论 设 $\{a_{nk},k⩾1,n⩾1\}$ 是二重数列, 若存在数列 $\{b_k,k⩾1\}$, 使得 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_{nk}=b_k$ 对每个 $k⩾1$ 成立, 同时又存在非负数列 $\{c_k,k⩾1\}$, 使得 ${\sum }_{k=1}^{\infty }{c}_k<\infty$ 且 $|a_{nk}|⩽c_k$ 对每个 $k⩾1$ 成立, 则

${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_{nk}={\sum }_{k=1}^{\infty }{b}_k.$

推论 设 $\{f,f_n,n⩾1\}$ 是 a.e. 有限的广义实值可测函数列, $f_n\stackrel{\mu }{\to }f$. 若存在可积的非负广义实值函数 $\phi$, 使 $|f_n|⩽\phi \text{ a.e.},n⩾1$, 则 $f$ 可积, 且

${\lim }_{n\to \infty }\int |f_n-f|\mathrm{d}\mu =0.$

3.3.2. 连续参数的控制收敛定理

设 $t_0\in \mathbb{R}$, $T$ 是 $t_0$ 的某个去心邻域, 函数 $f:T\times \Omega \to \overline{\mathbb{R}}$ 满足

(i) 对每个 $t\in T,f(t,\cdot )$ 都可测, 且存在广义实值函数 $f$ 使得 ${\lim }_{t\to t_0}f(t,\cdot )=f(\cdot )\text{ a.e.}$;

(ii) 存在可积的非负可测函数 $\phi$, 使得对所有的 $t\in T,|f(t,\cdot )|⩽\phi (\cdot )\text{ a.e.}$,

则 $f$ 可积, 且 ${\lim }_{t\to t_0}\int |f(t,\omega )-f(\omega )|\mu (\mathrm{d}\omega )=0$, 因而更有

${\lim }_{t\to t_0}\int f(t,\omega )\mathrm{d}\mu =\int f(\omega )\mathrm{d}\mu .$

知：将此定理中的$T$换成度量空间中的空心邻域，定理仍然成立
知：将此定理中的$t_0$换成$+\infty$或$-\infty$，定理仍然成立

推论：积分与导数换序 设 $t_0\in \mathbb{R}$, $T$ 是 $t_0$ 的某个去心邻域, 函数 $g:T\times \Omega \to \mathbb{R}$ 满足

(i) 对每个 $t\in T,g(t,\cdot )$ 都可测;

(ii) 对每个 $\omega \in \Omega ,g(\cdot ,\omega )$ 在 $T$ 上处处可微;

(iii) 存在非负可积函数 $\phi$, 使对所有的 $t\in T,\left|\frac{g(t,\cdot )-g(t_0,\cdot )}{t-t_0}\right|⩽\phi (\cdot )\text{ a.e.},$

则 ${\left[\frac{\partial g(t,\omega )}{\partial t}\right]}_{t=t_0}$ 可积, 且

${\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int g(t,\omega )\mu (\mathrm{d}\omega )\right]}_{t=t_0}=\int {\left[\frac{\partial g(t,\omega )}{\partial t}\right]}_{t=t_0}\mu (\mathrm{d}\omega ).$