连通空间

前置

• 连续映射

定义

• 称$U,V$为$(X,\tau )$的分割(separation)，若$U\in \tau \wedge V\in \tau \wedge U\cap V=\varnothing \wedge U\cup V=X$

• 称$(X,\tau )$为连通空间(connected space)，若$(X,\tau )$不存在分割

• 称$Y\subseteq X$为连通子集(连通子空间，connected subspace)，若$(Y,Y\cap \tau )$为连通空间

性质

1. $X$不连通 $⟺$ $X$存在既开又闭的非空真子集
2. 连续映射将连通集映射为连通集
3. 同胚映射将连通空间映射到连通空间
4. 同胚映射将连通子空间映射到连通子空间
5. 若$C,D$是$X$的分割，$Y$是$X$的连通子集，则$Y\subseteq C\vee Y\subseteq D$
6. 设$\mathcal{A}=\{A_{\alpha }|\alpha \in J\}$为$X$的连通子集族，且${\bigcap }_{\alpha \in J}{A}_{\alpha }\ne \varnothing$，则${\bigcup }_{\alpha \in J}{A}_{\alpha }$为连通子集
7. $A,B\subseteq X$,$A\subseteq B$,则$A$在$B$中连通等价于$A$在$X$中连通