流匹配理论补充

前置

• 流匹配

流匹配终点的高斯卷积收敛

设 $(\Omega ,\mathcal{F},Q)$ 是真实数据的概率空间，其中

$$\Omega ={\mathbb{R}}^d,\mathcal{F}=\mathcal{B}({\mathbb{R}}^d),$$

$Q$ 有连续密度 $q$，并且存在 $M<\infty$ 使

$$0\le q(\mathbf{x})\le M,\forall \mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^d.\text{\hspace{1em}(1)}$$

初始先验为

$${\mathbf{x}}_0\sim P_0=\mathcal{N}(0,I).$$

从 $Q$ 采样 ${\mathbf{x}}_1$，并构造条件仿射流

$${\mathbf{x}}_t={\varphi }_t({\mathbf{x}}_0\mid {\mathbf{x}}_1)={\mu }_t({\mathbf{x}}_1)+{\sigma }_t({\mathbf{x}}_1){\mathbf{x}}_0,\text{\hspace{1em}(2)}$$

端点条件为

$$\begin{array}{rlrl}{\mu }_0({\mathbf{x}}_1)& =0,& {\sigma }_0({\mathbf{x}}_1)& =1,\\ {\mu }_1({\mathbf{x}}_1)& ={\mathbf{x}}_1,& {\sigma }_1({\mathbf{x}}_1)& ={\sigma }_{\min }>0.\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

因此

$${\varphi }_1({\mathbf{x}}_0\mid {\mathbf{x}}_1)\sim \mathcal{N}({\mathbf{x}}_1,{\sigma }_{\min }^{2}I),$$

其边缘终点密度为

$$p_1^{({\sigma }_{\min })}(\mathbf{x})={\int }_{{\mathbb{R}}^d}\mathcal{N}(\mathbf{x};\mathbf{y},{\sigma }_{\min }^{2}I)q(\mathbf{y})\mathrm{d}\mathbf{y}.\text{\hspace{1em}(4)}$$

固定 ${\sigma }_{\min }>0$ 时，式 (4) 是平滑后的分布
$q\ast \mathcal{N}(0,{\sigma }_{\min }^{2}I)$，一般不等于 $q$。下面证明它在方差消失时逐点收敛到 $q$。

收敛定理

定理 在上述条件下，对每个固定的
$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^d$，

$$\underset{\sigma \downarrow 0}{\lim }{\int }_{{\mathbb{R}}^d}\mathcal{N}(\mathbf{x};\mathbf{y},{\sigma }^{2}I)q(\mathbf{y})\mathrm{d}\mathbf{y}=q(\mathbf{x}).\text{\hspace{1em}(5)}$$

证明 记

$${\phi }_{\sigma }(\mathbf{y}-\mathbf{x}):=\mathcal{N}(\mathbf{y};\mathbf{x},{\sigma }^{2}I).$$

由高斯核的对称性与归一化，

$$\begin{array}{rl}& \left|\int \mathcal{N}(\mathbf{x};\mathbf{y},{\sigma }^{2}I)q(\mathbf{y})\mathrm{d}\mathbf{y}-q(\mathbf{x})\right|\\ & =\left|\int {\phi }_{\sigma }(\mathbf{y}-\mathbf{x})(q(\mathbf{y})-q(\mathbf{x}))\mathrm{d}\mathbf{y}\right|\\ & \le \int {\phi }_{\sigma }(\mathbf{y}-\mathbf{x})\left|q(\mathbf{y})-q(\mathbf{x})\right|\mathrm{d}\mathbf{y}.\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

给定 $c>0$，把积分域分为

$$\begin{array}{rl}{A}_c& =\{\mathbf{y}:\Vert \mathbf{y}-\mathbf{x}\Vert <c\},\\ B_c& =\{\mathbf{y}:\Vert \mathbf{y}-\mathbf{x}\Vert \ge c\}.\end{array}$$

将式 (6) 的右端记为 $I_1(\sigma ,c)+I_2(\sigma ,c)$，分别对应
$A_c$ 与 $B_c$。

给定任意 $\epsilon >0$，由 $q$ 在固定点
$\mathbf{x}$ 连续，可选 $c>0$ 使

$$\Vert \mathbf{y}-\mathbf{x}\Vert <c⟹|q(\mathbf{y})-q(\mathbf{x})|<\frac{\epsilon }{2}.$$

于是

$$I_1(\sigma ,c)\le \frac{\epsilon }{2}{\int }_{A_c}{\phi }_{\sigma }(\mathbf{y}-\mathbf{x})\mathrm{d}\mathbf{y}\le \frac{\epsilon }{2}.\text{\hspace{1em}(7)}$$

在尾部区域，由式 (1)，

$$|q(\mathbf{y})-q(\mathbf{x})|\le 2M.$$

若 $\mathbf{Z}\sim \mathcal{N}(0,I)$，则

$$\begin{array}{rl}{I}_2(\sigma ,c)& \le 2M{\int }_{B_c}{\phi }_{\sigma }(\mathbf{y}-\mathbf{x})\mathrm{d}\mathbf{y}\\ & =2M\mathbb{P}(\Vert \sigma \mathbf{Z}\Vert \ge c)\\ & \le 2M\frac{\mathbb{E}\Vert \sigma \mathbf{Z}{\Vert }^2}{c^2}\\ & =\frac{2Md{\sigma }^2}{c^2},\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$

其中倒数第二步使用 Markov 不等式（等价于对平方范数使用多维 Chebyshev 尾界）。固定上述 $c$，再取

$${\sigma }^2<\frac{\epsilon c^2}{4Md}$$

（当 $M=0$ 时结论显然），便有
$I_2(\sigma ,c)<\epsilon /2$。结合式 (6)–(8)，总误差小于
$\epsilon$，故式 (5) 成立。$\square$

证明中必须先对差取绝对值，再分别控制近邻误差与尾部误差；只写无绝对值的上界不能同时控制正、负偏差。这里得到的是逐点收敛。若还要求关于 $\mathbf{x}$ 的一致收敛，需要额外的全局条件，例如 $q$ 一致连续。

速度场的通解

设给定密度路径 $p_t(\mathbf{x})$，基础速度场
$v_t(\mathbf{x})$ 满足连续性方程

$${\partial }_t{p}_t+{\nabla }_{\mathbf{x}}\cdot (p_t{v}_t)=0.\text{\hspace{1em}(9)}$$

问题是：哪些候选场 $u_t$ 与同一密度路径相容？

概率流差

定义概率流差

$${\mathbf{w}}_t(\mathbf{x}):=p_t(\mathbf{x})(u_t(\mathbf{x})-v_t(\mathbf{x})).\text{\hspace{1em}(10)}$$

充分必要条件

定理 假设对几乎每个 $t$，

$$p_t(\mathbf{x})>0\text{对几乎处处的 }\mathbf{x}\text{ 成立},\text{\hspace{1em}(11)}$$

并且 $p_t{u}_t,p_t{v}_t\in L_{\mathrm{loc}}^1({\mathbb{R}}^d;{\mathbb{R}}^d)$，所有连续性方程均在分布意义下理解。则 $p_t$ 同时满足 $u_t$ 与 $v_t$ 的连续性方程，当且仅当存在
${\mathbf{w}}_t\in L_{\mathrm{loc}}^1$ 使

$${\nabla }_{\mathbf{x}}\cdot {\mathbf{w}}_t=0\text{（分布意义）},\text{\hspace{1em}(12)}$$

并且

$$\boxed{u_t(\mathbf{x})=v_t(\mathbf{x})+\frac{{\mathbf{w}}_t(\mathbf{x})}{p_t(\mathbf{x})}}\text{几乎处处成立}.\text{\hspace{1em}(13)}$$

证明

充分性。 假设式 (12)–(13) 成立。因为
$p_t{u}_t=p_t{v}_t+{\mathbf{w}}_t$，所以

$$\begin{array}{rl}{\partial }_t{p}_t+\nabla \cdot (p_t{u}_t)& ={\partial }_t{p}_t+\nabla \cdot (p_t{v}_t+{\mathbf{w}}_t)\\ & =\underset{=0}{\underbrace{{\partial }_t{p}_t+\nabla \cdot (p_t{v}_t)}}+\underset{=0}{\underbrace{\nabla \cdot {\mathbf{w}}_t}}\\ & =0.\end{array}$$

故 $p_t$ 也满足以 $u_t$ 为速度场的连续性方程。

必要性。 反之，若

$${\partial }_t{p}_t+\nabla \cdot (p_t{u}_t)=0$$

也成立，将它与式 (9) 相减，得到

$$\nabla \cdot \left[p_t(u_t-v_t)\right]=0.$$

定义
${\mathbf{w}}_t=p_t(u_t-v_t)$，即得式 (12)。由
$p_t>0$ 几乎处处，可以除以 $p_t$，从而得到式 (13)。$\square$

因此，在正密度区域中，与给定 $p_t$ 相容的速度场通解是

$$v_t+\frac{{\mathbf{w}}_t}{p_t},\nabla \cdot {\mathbf{w}}_t=0.\text{\hspace{1em}(14)}$$

零密度集、边界与“诱导相同边缘”

式 (13) 的正密度条件不可省略。若 $p_t$ 可以为零，精确的充分必要条件仍是

$$\nabla \cdot [p_t(u_t-v_t)]=0,\text{\hspace{1em}(15)}$$

但有两点变化：

• $u_t$ 在零密度集上的取值不由连续性方程确定；
• 不能任取一个散度为零的 ${\mathbf{w}}_t$ 再除以 $p_t$。还必须保证
  ${\mathbf{w}}_t=p_t(u_t-v_t)$，特别是该商在所需意义下可定义并具有足够可积性。

若空间域有边界，除式 (12) 外还需保持相同的边界通量；在无流边界条件下通常要求

$${\mathbf{w}}_t\cdot \mathbf{n}=0\text{于边界上}.$$

最后，上述定理严格刻画的是“同一给定 $p_t$ 同时满足两个连续性方程”。若要进一步断言从同一初始密度出发时，场
$u_t$ 唯一诱导出的边缘就是 $p_t$，还需输运方程或对应流的适定性，例如局部 Lipschitz、全局解以及相应解类中的唯一性。缺少唯一性时，“满足同一 PDE”本身不足以排除其他弱解。