鞅

前置

• 随机过程

过滤与适应性

设 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 为概率空间，$T$ 为全序指标集。一族子 $\sigma$-代数

$$\mathbb{F}=({\mathcal{F}}_t{)}_{t\in T},{\mathcal{F}}_s\subseteq {\mathcal{F}}_t\subseteq \mathcal{F}(s\le t),$$

称为一个过滤（filtration），$(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{F},\mathbb{P})$ 称为过滤概率空间。${\mathcal{F}}_t$ 表示截至时刻 $t$ 可用的信息。完备性和右连续性等“通常条件”在基础定义中不是必需的，使用连续时间定理时再另行假设。

随机过程 $X=(X_t{)}_{t\in T}$ 称为适应于 $\mathbb{F}$，如果每个 $X_t$ 都是 ${\mathcal{F}}_t$-可测的。

实值鞅

实值适应过程 $M=(M_t{)}_{t\in T}$ 称为关于 $(\mathbb{F},\mathbb{P})$ 的鞅，如果：

1. 对每个 $t\in T$， $$\mathbb{E}|M_t|<\infty ;$$
2. 对所有 $s\le t$， $$\mathbb{E}[M_t\mid {\mathcal{F}}_s]=M_s\mathbb{P}\text{-a.s.}$$

第二个条件表示在已知当前全部信息后，对未来值的最佳可积预测就是当前值。条件期望的等式等价于：对每个 $A\in {\mathcal{F}}_s$，

$$\mathbb{E}\left[(M_t-M_s)1_A\right]=0.$$

这里必须有 $L^1$ 可积性；仅仅存在某个 $p$ 次矩或逐点有限并不能代替定义中的条件。

${\mathbb{R}}^d$ 值鞅

设 $M_t=(M_t^1,\dots ,M_t^d)$。称 $M$ 为 ${\mathbb{R}}^d$ 值鞅，如果它适应、满足

$$\mathbb{E}\Vert M_t\Vert <\infty ,$$

并且

$$\mathbb{E}[M_t\mid {\mathcal{F}}_s]=M_s$$

逐坐标成立。有限维空间中这也等价于每个坐标过程 $M^k$ 都是实值鞅，或等价于对任意 $u\in {\mathbb{R}}^d$，标量过程 $u^{\top }{M}_t$ 是鞅。

Banach 空间值情形

设 $B$ 为 Banach 空间。$B$ 值随机变量 $Y$ 若强可测且

$$\mathbb{E}\Vert Y{\Vert }_B<\infty ,$$

就称为 Bochner 可积；此时 ${\int }_{A}Y\mathrm{d}\mathbb{P}\in B$ 有定义。

不预设向量条件期望存在时，一个稳妥的 $B$ 值鞅定义是：过程 $Y=(Y_t)$ 适应、每个 $Y_t$ Bochner 可积，并且对所有 $s\le t$ 和 $A\in {\mathcal{F}}_s$，

$${\int }_A(Y_t-Y_s)\mathrm{d}\mathbb{P}=0\text{（在 }B\text{ 中）}.$$

这正是实值定义中的积分刻画。若 Bochner 条件期望存在，则可简写为

$$Y_s=\mathbb{E}[Y_t\mid {\mathcal{F}}_s].$$

但对任意 Banach 空间，不能无条件地使用最后这个写法。给定 Bochner 可积的 $Y_t$，集合函数

$$A⟼{\int }_A{Y}_t\mathrm{d}\mathbb{P},A\in {\mathcal{F}}_s,$$

是一个 $B$ 值向量测度；要把它表示成某个 ${\mathcal{F}}_s$-可测 $B$ 值函数的积分，需要相应的 Radon—Nikodym 性质。若 $B$ 具有 Radon—Nikodym 性质（RNP；例如有限维空间或反射 Banach 空间），则这种 Bochner 条件期望对所有 Bochner 可积随机变量存在。一般 Banach 空间可能不具有 RNP，此时条件期望未必作为 $B$ 值 Bochner 可积随机变量存在。

因此严谨的层次是：

• 对 $\mathbb{R}$ 与 ${\mathbb{R}}^d$，按通常条件期望定义；
• 对 Banach 空间，先要求强可测与 Bochner $L^1$ 可积；
• 只有在目标空间具有 RNP，或已经对当前随机变量单独证明条件期望存在时，才把积分恒等式写成 $Y_s=\mathbb{E}[Y_t\mid {\mathcal{F}}_s]$。

只对每个连续线性泛函 $\ell \in B^{\ast }$ 要求 $\ell (Y_t)$ 为标量鞅，
称为弱鞅条件。若 $Y_t$ 已经强可测且 Bochner 可积，则该条件与上面的
积分定义等价：对 $A\in {\mathcal{F}}_s$，

$$\ell \left({\int }_A(Y_t-Y_s)\mathrm{d}\mathbb{P}\right)=0(\forall \ell \in B^{\ast }),$$

Hahn—Banach 定理遂推出向量积分本身为零。这里不需要 RNP；RNP 的作用仅是
保证这个向量测度可表示为某个 $B$ 值 Bochner 条件期望。若连强可测性或
Bochner 可积性都未给出，则弱条件不能自动替代强定义。