复值可测函数的L积分

前置

• Lebesgue-integral

复值可测函数 $L$ 积分的性质

若 $\mathbf{f},\mathbf{g}$ 为 $\Omega$ 上的复值可测可积函数，$\alpha =a+ib\in \mathbb{C}$ 为复常数，则其积分满足以下性质：

1. 线性性（Linearity）：

$\int (\mathbf{f}+\mathbf{g})d\mu =\int \mathbf{f}d\mu +\int \mathbf{g}d\mu$

2. 复齐次性（Complex Homogeneity）：

$\int \alpha \mathbf{f}d\mu =\alpha \int \mathbf{f}d\mu (\forall \alpha \in \mathbb{C})$

3. 几乎处处相等性（a.e. Equality）：
   若 $\mathbf{f}=\mathbf{g}\text{a.e.}$，则 $\int \mathbf{f}d\mu =\int \mathbf{g}d\mu$。
4. 模长三角不等式（Triangle Inequality for Integrals）：

$\left|\int \mathbf{f}d\mu \right|\le \int |\mathbf{f}|d\mu$

5. 共轭不变性（Conjugate Invariance）：

$\int \overline{\mathbf{f}}d\mu =\overline{\int \mathbf{f}d\mu }$

---

证明

线性性

欲证：$\int (\mathbf{f}+\mathbf{g})d\mu =\int \mathbf{f}d\mu +\int \mathbf{g}d\mu$

证明：
设 $\mathbf{f}=u_1+i{v}_1$ 且 $\mathbf{g}=u_2+i{v}_2$。则有：

$\mathbf{f}+\mathbf{g}=(u_1+u_2)+i(v_1+v_2)$

根据复值积分的定义，将实部与虚部展开：

$\int (\mathbf{f}+\mathbf{g})d\mu =\int (u_1+u_2)d\mu +i\int (v_1+v_2)d\mu$

利用实值 $L$ 积分的线性性质（性质 11 中的可加性），上式可拆分为：

$$\begin{array}{rlrl}\int (\mathbf{f}+\mathbf{g})d\mu & =\left(\int u_{1}d\mu +\int u_{2}d\mu \right)+i\left(\int v_{1}d\mu +\int v_{2}d\mu \right)& =\left(\int u_{1}d\mu +i\int v_{1}d\mu \right)+\left(\int u_{2}d\mu +i\int v_{2}d\mu \right)& =\int \mathbf{f}d\mu +\int \mathbf{g}d\mu \end{array}$$

证毕。

复齐次性

欲证：$\int \alpha \mathbf{f}d\mu =\alpha \int \mathbf{f}d\mu (\alpha =a+ib\in \mathbb{C})$

证明：
设 $\mathbf{f}=u+iv$，直接展开复数乘法 $\alpha \mathbf{f}$：

$\alpha \mathbf{f}=(a+ib)(u+iv)=(au-bv)+i(bu+av)$

根据复值积分定义：

$\int \alpha \mathbf{f}d\mu =\int (au-bv)d\mu +i\int (bu+av)d\mu$

利用实值 $L$ 积分的齐次性与线性性拆开积分：

$\int \alpha \mathbf{f}d\mu =\left(a\int ud\mu -b\int vd\mu \right)+i\left(b\int ud\mu +a\int vd\mu \right)$

对右侧进行代数重组，提取公因式 $a$ 和 $ib$：

$$\begin{array}{rlrl}& =a\left(\int ud\mu +i\int vd\mu \right)+ib\left(\int ud\mu +i\int vd\mu \right)& =(a+ib)\left(\int ud\mu +i\int vd\mu \right)& =\alpha \int \mathbf{f}d\mu \end{array}$$

证毕。

共轭不变性

欲证：$\int \overline{\mathbf{f}}d\mu =\overline{\int \mathbf{f}d\mu }$

证明：
设 $\mathbf{f}=u+iv$，则 $\overline{\mathbf{f}}=u-iv$。根据定义：

$\int \overline{\mathbf{f}}d\mu =\int ud\mu +i\int (-v)d\mu$

利用实值积分的齐次性把 $-1$ 提出来：

$\int \overline{\mathbf{f}}d\mu =\int ud\mu -i\int vd\mu =\overline{\int ud\mu +i\int vd\mu }=\overline{\int \mathbf{f}d\mu }$

证毕。

几乎处处相等性

欲证：若 $\mathbf{f}=\mathbf{g}\text{a.e.}$，则 $\int \mathbf{f}d\mu =\int \mathbf{g}d\mu$

证明：
因为 $\mathbf{f}=\mathbf{g}\text{a.e.}$，这意味着：

$\text{Re}\mathbf{f}=\text{Re}\mathbf{g}\text{a.e.}\text{且}\text{Im}\mathbf{f}=\text{Im}\mathbf{g}\text{a.e.}$

因此

$\int \text{Re}\mathbf{f}d\mu =\int \text{Re}\mathbf{g}d\mu \text{且}\int \text{Im}\mathbf{f}d\mu =\int \text{Im}\mathbf{g}d\mu$

代入复值积分定义式，两积分必然相等。
证毕。

模长三角不等式

欲证：$\left|\int \mathbf{f}d\mu \right|\le \int |\mathbf{f}|d\mu$

证明：
设复数积分值 $z=\int \mathbf{f}d\mu \in \mathbb{C}$。

• 若 $z=0$，则左式 $|0|=0$。由于 $|\mathbf{f}|\ge 0$，其积分非负，不等式 $0\le \int |\mathbf{f}|d\mu$ 显然成立。
• 若 $z\ne 0$，令 $\lambda =\frac{\overline{z}}{|z|}$。则 $|\lambda |=1$，且

$$\lambda z=\frac{\overline{z}z}{|z|}=|z|$$

由此可得：

$|z|=\lambda z=\lambda \int \mathbf{f}d\mu$

利用上面刚刚证明的复齐次性，将复常数 $\lambda$ 移入积分号内部：

$|z|=\int \lambda \mathbf{f}d\mu$

注意：因为 $|z|$ 是一个纯实数，所以它的值必然等于它自身的实部。因此：

$|z|=\text{Re}\left(\int \lambda \mathbf{f}d\mu \right)$

根据复值积分定义，积分的实部等于实部的积分：

$|z|=\int \text{Re}\left(\lambda \mathbf{f}\right)d\mu$

对任何复数 $w$，显然有 $\text{Re}(w)\le |w|$。因此对被积函数有：

$\text{Re}\left(\lambda \mathbf{f}\right)\le \left|\lambda \mathbf{f}\right|=|\lambda |\cdot |\mathbf{f}|=|\mathbf{f}|$

由于上述不等式处处成立，利用实值 $L$ 积分的单调性：

$|z|=\int \text{Re}\left(\lambda \mathbf{f}\right)d\mu \le \int |\mathbf{f}|d\mu$

将 $z=\int \mathbf{f}d\mu$ 代回，最终得到：

$\left|\int \mathbf{f}d\mu \right|\le \int |\mathbf{f}|d\mu$

Q.E.D.