实数域上的实数幂

1. 前置

• 一些标准极限

2. 实数次幂

Lemma [Continuity of exponentiation] Let $x>0$, and let $\alpha$ be a real number. Let $(q_n{)}_{n=1}^{\infty }$ be any sequence of rational numbers converging to $\alpha$. Then $(x^{q_n}{)}_{n=1}^{\infty }$ is also a convergent sequence. Furthermore, if $(q_n^{\prime }{)}_{n=1}^{\infty }$ is any other sequence of rational numbers converging to $\alpha$, then $(x^{q_n^{\prime }}{)}_{n=1}^{\infty }$ has the same limit as $(x^{q_n}{)}_{n=1}^{\infty }$:

${\lim }_{n\to \infty }{x}^{q_n}={\lim }_{n\to \infty }{x}^{q_n^{\prime }}.$

Proof

We divide the proof into three cases based on the value of $x$.

2.1. Case 1: $x=1$

For any rational $q$, $1^q=1$. Thus $x^{q_n}=1$ for all $n$, and the sequence $(x^{q_n})$ converges to $1$. The same applies to $(x^{q_n^{\prime }})$, so the limits are identical.

2.2. Case 2: $x>1$

1. Convergence of $(x^{q_n})$
It suffices to show that $(x^{q_n})$ is a Cauchy sequence. Since $q_n\to \alpha$, $(q_n)$ is bounded, say $q_n\le M$ for all $n$. Using the monotonicity of exponentiation for $x>1$:
$|x^{q_n}-x^{q_m}|=x^{q_m}|x^{q_n-q_m}-1|\le x^M|x^{|q_n-q_m|}-1|$
Since $(q_n)$ is a Cauchy sequence, for any $K\in {\mathbb{Z}}^{+}$, there exists $N$ such that $|q_n-q_m|<1/K$ for all $n,m\ge N$. By monotonicity:
$|x^{|q_n-q_m|}-1|<x^{1/K}-1$
We know from the standard limit ${\lim }_{K\to \infty }{x}^{1/K}=1$ that $x^{1/K}-1$ can be made arbitrarily small by choosing a sufficiently large $K$. Thus $(x^{q_n})$ is a Cauchy sequence and, by the completeness of $\mathbb{R}$, it converges to some limit $L$.

2. Uniqueness of the limit
Suppose $q_n\to \alpha$ and $q_n^{\prime }\to \alpha$. Consider the ratio:
$\frac{x^{q_n}}{x^{q_n^{\prime }}}=x^{q_n-q_n^{\prime }}$
Let $r_n=q_n-q_n^{\prime }$. Then $r_n\to 0$. For any $K\in {\mathbb{Z}}^{+}$, there exists $N$ such that $-1/K<r_n<1/K$ for all $n\ge N$. By monotonicity:
$x^{-1/K}<x^{r_n}<x^{1/K}$
Since ${\lim }_{K\to \infty }{x}^{1/K}=1$ and ${\lim }_{K\to \infty }{x}^{-1/K}=1$, the squeeze theorem implies ${\lim }_{n\to \infty }{x}^{r_n}=1$. By the limit laws:
${\lim }_{n\to \infty }{x}^{q_n}={\lim }_{n\to \infty }(x^{q_n-q_n^{\prime }}\cdot x^{q_n^{\prime }})=1\cdot {\lim }_{n\to \infty }{x}^{q_n^{\prime }}$
The limits are therefore the same.

2.3. Case 3: $0<x<1$

1. Convergence of $(x^{q_n})$
Let $y=1/x$. Since $y>1$, the results from Case 2 apply. The sequence $(y^{q_n})$ converges to a limit $L_y$. Since $y>1$ and $(q_n)$ is bounded, $L_y$ must be positive.
By the properties of rational exponentiation:
$x^{q_n}={\left(\frac{1}{y}\right)}^{q_n}=\frac{1}{y^{q_n}}$
By the quotient rule for limits, ${\lim }_{n\to \infty }{x}^{q_n}=1/L_y$. Since the sequence converges, it is a Cauchy sequence.

2. Uniqueness of the limit
If $q_n\to \alpha$ and $q_n^{\prime }\to \alpha$, then both $(y^{q_n})$ and $(y^{q_n^{\prime }})$ converge to the same limit $L_y$ by Case 2. Thus:
${\lim }_{n\to \infty }{x}^{q_n}=\frac{1}{L_y}={\lim }_{n\to \infty }{x}^{q_n^{\prime }}$
The proof is complete. $\square$

$\text{Definition}$ (Exponentiation to a real exponent). Let $x>0$ be real, and let $\alpha$ be a real number. We define the quantity $x^{\alpha }$ by the formula $x^{\alpha }={\lim }_{n\to \infty }{x}^{q_n}$, where $(q_n{)}_{n=1}^{\infty }$ is any sequence of rational numbers converging to $\alpha$.

Lemma Let $x,y>0$ be positive reals, and let $q,r$ be real number.

(a) $x^q$ is a positive real.
(b1) $x^{q+r}=x^q{x}^r$
(b2) $(x^q{)}^r=x^{qr}$.
(c) $x^{-q}=1/x^q$.
(d) If $q>0$, then $x>y$ if and only if $x^q>y^q$.
(e) If $x>1$, then $x^q>x^r$ if and only if $q>r$. If $x<1$, then $x^q>x^r$ if and only if $q<r$.
(f) $(xy{)}^q=x^q{y}^q$.

本文将采取以下顺序来证明这些性质：

(a)->(b1)->(e)->(b2)->(c)->(f)->(d)

---

2.1. (a) $x^q$ is a positive real.

证明：

2.1.1. 第一步：证明非负性

对于任意有理数 $r$，已知 $x^r>0$。根据极限的保序性，若 $x^{q_n}>0$，则其极限 $x^q\ge 0$。

2.1.2. 第二步：证明严格大于零

2.1.2.1. 情形一：$x>1$

若 $x>1$，取有理数数列 $q_n\to q$，则存在 $M$ 使得 $q_n>M$。于是

$$x^{q_n}>x^M>0,$$

故

$$\lim x^{q_n}\ge x^M>0.$$

2.1.2.2. 情形二：$0<x<1$

对于 $0<x<1$，令 $y=\frac{1}{x}$，则 $y>1$，$y^q={\lim }_{n\to \infty }{y}^{q_n}$ 是一个有限的正实数（$y^q>0$）。

根据实数幂的定义和极限的四则运算法则：

$$x^q=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^{q_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{y}\right)}^{q_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{y^{q_n}}=\frac{1}{y^q}.$$

因为 $y^q$ 是有限的正实数，所以其倒数 $\frac{1}{y^q}$ 也必然是正实数。故 $x^q>0$。

因此 $x^q>0$。

Q.E.D.

2.2. (b1) $x^{q+r}=x^q{x}^r$

证明 $x^{q+r}=x^q{x}^r$：

取有理数列 $q_n\to q$ 和 $r_n\to r$。则 $(q_n+r_n)$ 是趋于 $q+r$ 的有理数列。

根据定义和极限运算法则：

$$x^{q+r}=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^{q_n+r_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }(x^{q_n}\cdot x^{r_n})=\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^{q_n}\right)\cdot \left(\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^{r_n}\right)=x^q{x}^r.$$

2.3. (e) 指数的单调性命题：

1. 若 $x>1$，则 $x^q>x^r⟺q>r$。
2. 若 $0<x<1$，则 $x^q>x^r⟺q<r$。

证明：

2.3.1. 情形一：$x>1$

2.3.1.1. 核心引理：若 $h>0$，则 $x^h>1$

我们先证明一个核心引理：若 $x>1$ 且 $h>0$（$h$ 为实数），则 $x^h>1$。

构造序列：由于 $h>0$，根据有理数的稠密性，存在一个有理数 $r$ 使得 $0<r<h$。同时，取一个趋于 $h$ 的有理数列 $(q_n)$，使得对于所有 $n$，都有 $q_n\ge r$。

利用有理数幂性质：在有理数幂阶段，我们已经证明了对于 $x>1$ 和正有理数 $r$，有 $x^r>1$。由于 $q_n\ge r$，根据有理数幂的单调性，有 $x^{q_n}\ge x^r>1$。

取极限：根据实数幂的定义 $x^h={\lim }_{n\to \infty }{x}^{q_n}$。由极限的保序性，

$$x^h=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^{q_n}\ge x^r>1.$$

由此得到 $x^h>1$。

2.3.1.2. 充分性：$q>r\Rightarrow x^q>x^r$

令 $h=q-r$。因为 $q>r$，所以 $h>0$。根据实数幂性质 (b1)：

$$x^q=x^{r+h}=x^r\cdot x^h.$$

由上述引理知 $x^h>1$，且已知 $x^r>0$。因此 $x^r\cdot x^h>x^r\cdot 1$，即 $x^q>x^r$。

2.3.1.3. 必要性：$x^q>x^r\Rightarrow q>r$

利用反证法。若 $q\le r$：若 $q=r$，则 $x^q=x^r$，与已知矛盾。若 $q<r$，由充分性可知 $x^q<x^r$，与已知矛盾。故必有 $q>r$。

2.3.2. 情形二：$0<x<1$

2.3.2.1. 核心引理：若 $h>0$，则 $0<x^h<1$

情况 $0<x<1$ 的直接证明核心引理：若 $0<x<1$ 且 $h>0$（$h$ 为实数），则 $0<x^h<1$。

引理证明：构造序列：由于 $h>0$，根据有理数的稠密性，存在一个有理数 $r$ 使得 $0<r<h$。取一个趋于 $h$ 的有理数列 $(q_n)$，使得对于所有 $n$，都有 $q_n\ge r$。

利用有理数幂性质：在有理数幂阶段，我们已经证明了对于 $0<x<1$ 和正有理数 $r$，有 $0<x^r<1$。由于 $q_n\ge r$，根据有理数幂的单调性，有 $0<x^{q_n}\le x^r<1$。

取极限：根据实数幂定义 $x^h={\lim }_{n\to \infty }{x}^{q_n}$。由极限的保序性，

$$0\le x^h=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^{q_n}\le x^r<1.$$

又因为已经在性质 (a) 中证明了 $x^h>0$，所以有 $0<x^h<1$。

2.3.2.2. 充分性：$q>r\Rightarrow x^q<x^r$

设 $q>r$，令 $h=q-r>0$。根据实数幂的性质 (b1)（指数律）：

$$x^q=x^{r+h}=x^r\cdot x^h.$$

由于 $0<x<1$ 且 $h>0$，由上述引理可知 $0<x^h<1$。因为 $x^r>0$，我们在不等式 $x^h<1$ 两边同时乘以正数 $x^r$：

$$x^r\cdot x^h<x^r\cdot 1⟹x^q<x^r.$$

2.3.2.3. 必要性：$x^q<x^r\Rightarrow q>r$

利用反证法。假设 $q\le r$：若 $q=r$，则根据幂运算的良定义性，$x^q=x^r$，这与已知条件 $x^q<x^r$ 矛盾。若 $q<r$，此时我们可以应用刚才证明的充分性结论。交换 $q,r$ 的角色，由于 $r>q$，应推导出 $x^r<x^q$，这同样与已知条件 $x^q<x^r$ 矛盾。因此，必有 $q>r$。

Q.E.D.

2.4. (b)(2) 证明 $(x^q{)}^r=x^{qr}$：

---

2.4.1. 预备引理：实数幂关于指数连续

要证明这个需要先证明一个引理：对于任何实数序列 $({\alpha }_n{)}_{n=m}^{\infty }$，若 ${\lim }_{n\to \infty }{\alpha }_n=\alpha$，则 ${\lim }_{n\to \infty }{x}^{{\alpha }_n}=x^{\alpha }$。

对于每一个实数 ${\alpha }_n$，我们都可以找到两个有理数 $p_n$ 和 $q_n$，使得

$$p_n\le {\alpha }_n\le q_n$$

且要求这些有理数足够接近 ${\alpha }_n$，例如满足：

$${\alpha }_n-\frac{1}{n}<p_n\le {\alpha }_n\le q_n<{\alpha }_n+\frac{1}{n}.$$

${\lim }_{n\to \infty }{p}_n=\alpha$，${\lim }_{n\to \infty }{q}_n=\alpha$。注意：此时 $p_n$ 和 $q_n$ 都是趋向于实数 $\alpha$ 的有理数列。

当 $x>1$ 时（$0<x<1$ 时同理），幂运算具有单调性。对不等式 $p_n\le {\alpha }_n\le q_n$ 同时取以 $x$ 为底的幂：

$$x^{p_n}\le x^{{\alpha }_n}\le x^{q_n}.$$

那么 ${\lim }_{n\to \infty }{x}^{p_n}=x^{\alpha }$，${\lim }_{n\to \infty }{x}^{q_n}=x^{\alpha }$。

根据实数的挤压定理，夹在中间的实数幂序列也必须趋于同一个极限：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^{{\alpha }_n}=x^{\alpha }.$$

因此，函数 $f(r)=x^r$ 在点 $\alpha$ 处是连续的。由于 $\alpha$ 是任取的，该函数在整个实数域 $\mathbb{R}$ 上连续。Q.E.D.

---

现在开始证明 $(x^q{)}^r=x^{qr}$。

2.4.2. 第一步：先处理整数指数

证明 $(x^q{)}^n=x^{qn}$ 对 $n\in \mathbb{Z}$ 成立。

取有理数列 $q_k\to q$。根据定义 $x^q={\lim }_{k\to \infty }{x}^{q_k}$。利用极限的乘法运算法则：

$$(x^q{)}^n={\left(\underset{k\to \infty }{\lim }{x}^{q_k}\right)}^n=\underset{k\to \infty }{\lim }(x^{q_k}{)}^n=\underset{k\to \infty }{\lim }{x}^{q_{k}n}.$$

由于 $q_{k}n$ 是趋于 $qn$ 的有理数列，根据定义，上式等于 $x^{qn}$。

2.4.3. 第二步：再处理分母为正整数的情形

证明 $(x^q{)}^{1/n}=x^{q/n}$ 对 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 成立。

令 $y=(x^q{)}^{1/n}$。只需证明 $y^n=x^q$。

由第一步结论：

$$y^n=((x^q{)}^{1/n}{)}^n=(x^q{)}^{\frac{1}{n}\cdot n}=(x^q{)}^1=x^q.$$

根据方根的唯一性，得 $(x^q{)}^{1/n}=x^{q/n}$。

2.4.4. 推论：推广到有理数指数

结合前两步，对于任何有理数 $s=m/n$，$(x^q{)}^s=x^{qs}$ 成立。

2.4.5. 第三步：推广到实数指数

证明 $(x^q{)}^r=x^{qr}$ 对 $r\in \mathbb{R}$ 成立。

取有理数列 $r_n\to r$。根据实数幂的定义：

$$(x^q{)}^r=\underset{n\to \infty }{\lim }(x^q{)}^{r_n}.$$

利用第二步的推论，因为 $r_n$ 是有理数：

$$(x^q{)}^r=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^{q\cdot r_n}.$$

利用引理：对于任何实数序列 $({\alpha }_n{)}_{n=m}^{\infty }$，若 ${\lim }_{n\to \infty }{\alpha }_n=\alpha$，则 ${\lim }_{n\to \infty }{x}^{{\alpha }_n}=x^{\alpha }$，有：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^{q{r}_n}=x^{{\lim }_{n\to \infty }q{r}_n}=x^{qr}$$

因此 $(x^q{)}^r=x^{qr}$。

Q.E.D.

2.5. (c) $x^{-q}=1/x^q$

证明：

取有理数列 $q_n\to q$，则 $-q_n\to -q$。

$$x^{-q}=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^{-q_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{x^{q_n}}=\frac{1}{{\lim }_{n\to \infty }{x}^{q_n}}=\frac{1}{x^q}.$$

2.6. (f) $(xy{)}^q=x^q{y}^q$

取有理数列 $q_n\to q$。根据定义：$(xy{)}^q={\lim }_{n\to \infty }(xy{)}^{q_n}$。利用有理数幂的分配律：$(xy{)}^{q_n}=x^{q_n}{y}^{q_n}$。利用极限的乘法法则：$(xy{)}^q={\lim }_{n\to \infty }(x^{q_n}\cdot y^{q_n})=\left({\lim }_{n\to \infty }{x}^{q_n}\right)\cdot \left({\lim }_{n\to \infty }{y}^{q_n}\right)=x^q{y}^q$

2.7. (d) 若 $q>0$，则 $x>y⟺x^q>y^q$

我们将证明分为两部分：充分性（$\Rightarrow$）和必要性（$\Leftarrow$）。

2.7.1. 充分性：$x>y\Rightarrow x^q>y^q$

设 $x>y>0$，则 $\frac{x}{y}>1$。取趋于 $q$ 的正有理数列 $r_n$（由于 $q>0$，总能找到这样的正有理数列，例如从某项起 $r_n>0$）。

根据有理数幂的性质 (d)，对于每一个 $r_n>0$：

$${\left(\frac{x}{y}\right)}^{r_n}>1.$$

根据极限的保序性：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x}{y}\right)}^{r_n}\ge 1.$$

利用实数幂的定义及其性质 (f)（可由极限法则轻易证明）：

$${\left(\frac{x}{y}\right)}^q=\frac{x^q}{y^q}\ge 1⟹x^q\ge y^q.$$

排除等号：若 $x^q=y^q$，则 ${\left(\frac{x}{y}\right)}^q=1$。$((x/y{)}^q{)}^{1/q}=1^{1/q}=1$，故 $x/y=1$，矛盾。

矛盾。因此，$x^q>y^q$。

2.7.2. 必要性：$x^q>y^q\Rightarrow x>y$

使用反证法。假设 $x\le y$：若 $x=y$，则显然 $x^q=y^q$，与 $x^q>y^q$ 矛盾。若 $x<y$，则根据刚才证明的充分性（此时 $y$ 为大者），应有 $y^q>x^q$，这与已知条件 $x^q>y^q$ 矛盾。因此，必有 $x>y$。

Q.E.D.