矩阵乘法

前置

• matrix

性质

1. $AB={\sum }_{i=1}^p{a}_i{b}_i^T.$
2. $ABC={\sum }_{i=1}^p{\sum }_{j=1}^q{b}_{ij}{a}_i{c}_j^T.$

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记号说明

设

$$A\in F^{m\times p},B\in F^{p\times q},C\in F^{q\times n}.$$

把 $A$ 按列分块：

$$A=[a_1{a}_2\cdots a_p],a_i\in F^{m\times 1},$$

其中 $a_i=A_{:,i}$ 是 $A$ 的第 $i$ 列。

把 $B$ 按行分块：

$$B=\left[\begin{array}{c}{b}_1^T\\ b_2^T\\ ⋮\\ b_p^T\end{array}\right],b_i^T\in F^{1\times q},$$

其中 $b_i^T=B_{i,:}$ 是 $B$ 的第 $i$ 行。

把 $C$ 按行分块：

$$C=\left[\begin{array}{c}{c}_1^T\\ c_2^T\\ ⋮\\ c_q^T\end{array}\right],c_j^T\in F^{1\times n},$$

其中 $c_j^T=C_{j,:}$ 是 $C$ 的第 $j$ 行。

并记

$$B=(b_{ij}),1\le i\le p,1\le j\le q.$$