n阶齐次常系数线性向量微分方程

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• $n$阶线性向量微分方程
• $n$阶齐次线性向量微分方程
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  • 举例

n阶向量微分方程

设 $\mathbf{y}(t)=[y_1(t),y_2(t),...,y_n(t){]}^T$

一个n阶向量微分方程的典型形式为：

$$\frac{d^n\mathbf{y}}{d{t}^n}=\mathbf{F}(t,\mathbf{y},\frac{d\mathbf{y}}{dt},\frac{d^2\mathbf{y}}{d{t}^2},...,\frac{d^{n-1}\mathbf{y}}{d{t}^{n-1}})$$

其中 $\mathbf{F}$ 是一个向量值函数，它依赖于$t$ 和 $\mathbf{y}$ 的各阶导数。

$n$阶线性向量微分方程

一个 $n$ 阶线性向量微分方程通常可以写成如下的形式：

$$\frac{d^n\mathbf{y}}{d{t}^n}+a_{n-1}(t)\frac{d^{n-1}\mathbf{y}}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_1(t)\frac{d\mathbf{y}}{dt}+a_0(t)\mathbf{y}=\mathbf{g}(t)$$

其中：

• $t\in \mathbb{C}$
• $\mathbf{y}(t)\in {\mathbb{C}}^m$
• $a_i(t)\in {\mathbb{C}}^{m\times m}$
• $\mathbf{g}(t)\in {\mathbb{C}}^m$

$n$阶齐次线性向量微分方程

一个 $n$ 阶齐次线性向量微分方程可以表示为：

$$\frac{d^n\mathbf{y}}{d{t}^n}+a_{n-1}(t)\frac{d^{n-1}\mathbf{y}}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_1(t)\frac{d\mathbf{y}}{dt}+a_0(t)\mathbf{y}=0$$

$n$阶齐次常系数线性向量微分方程

$$\frac{d^n\mathbf{y}}{d{t}^n}+A_{n-1}\frac{d^{n-1}\mathbf{y}}{d{t}^{n-1}}+\cdots +A_1\frac{d\mathbf{y}}{dt}+A_0\mathbf{y}=0$$

假设解的形式为：

$$\mathbf{y}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}$$

其中，$\lambda$ 是特征值，$\mathbf{v}$ 是特征向量。代入方程后得到特征方程：

$$\begin{array}{rl}({\lambda }^n{e}^{\lambda t}I+A_{n-1}{\lambda }^{n-1}{e}^{\lambda t}I+\cdots +A_1\lambda e^{\lambda t}I+A_0{e}^{\lambda t}I)\mathbf{v}& =0\\ ({\lambda }^{n}I+A_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +A_1\lambda +A_0)\mathbf{v}& =0\end{array}$$

所有满足特征方程的 $\lambda$ 和 $\mathbf{v}$ 都可以确定一个解$\mathbf{y}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}$。因为齐次微分方程的解空间是线性算子的核空间，所以所有解构成一个向量空间。

因此只要找到这个向量空间的一组基，就可以得到齐次微分方程的通解。

举例

$q\in {\mathbb{C}}^m,D\in {\text{Sym}}_m(\mathbb{R}),t\in \mathbb{R}$

$$\frac{d^2\mathbf{q}}{d{t}^2}=-D\mathbf{q}$$

移项表示为标准形式：

$$\frac{d^2\mathbf{q}}{d{t}^2}+D\mathbf{q}=0$$

设$\mathbf{q}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}$

特征方程为：

$$({\lambda }^{2}I+D)\mathbf{v}=0$$

即$D\mathbf{v}=-{\lambda }^2\mathbf{v}$

表明$-{\lambda }^2$是$D$的特征值，$\mathbf{v}$是$D$的特征向量。

因为$D$是实对称矩阵，所以$D$可以对角化，即存在正交矩阵$P$，使得$D=P\Lambda P^T$，其中$\Lambda$是对角矩阵，对角线上的元素为$D$的特征值。$\Lambda =\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_m)\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$,且${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le ...\le {\lambda }_m$, $P=[{\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,...,{\mathbf{p}}_m]\in {\mathbf{O}}_m(\mathbb{R})$

因此，方程的解为：

$$\mathbf{q}(t)=c_1{e}^{\sqrt{-{\lambda }_1}t}{\mathbf{p}}_1+c_2{e}^{\sqrt{-{\lambda }_2}t}{\mathbf{p}}_2+...+c_m{e}^{\sqrt{-{\lambda }_m}t}{\mathbf{p}}_m$$