函数序列

前置

• 度量空间
• Stieltjes_integral

定义

本节假设函数的陪域为度量空间。
涉及到级数时，因为需要加法结构，因此要假设陪域为Banach空间。
涉及到柯西列时，需要用到完备性，因此要假设陪域为完备度量空间。
涉及到序关系时，要陪域为$\mathbb{R}$

• （任意集合 $\to$ 度量空间） Suppose $\{f_n\}$, $n=1,2,3,\dots$, is a sequence of functions defined on a set $E$, and suppose that the sequence of numbers $\{f_n(x)\}$ converges for every $x\in E$. We can then define a function $f$ by $f(x)={\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x)(x\in E).$ Under these circumstances we say that $\{f_n\}$ converges on $E$ and that $f$ is the limit, or the limit function, of $\{f_n\}$. Sometimes we shall use a more descriptive terminology and shall say that “$\{f_n\}$ converges to $f$ pointwise on $E$” if above condition holds.
• （任意集合 $\to$ Banach 空间） If $\sum f_n(x)$ converges for every $x\in E$, and if we define
  $f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n(x)(x\in E),$
  the function $f$ is called the sum of the series $\sum f_n$.
• （任意集合 $\to$ 度量空间） We say that a sequence of functions $\{f_n\},n=1,2,3,\dots ,$ converges uniformly on $E$ to a function $f$ if for every $\epsilon >0$ there is an integer $N$ such that $n\ge N$ implies $|f_n(x)-f(x)|\le \epsilon$ for all $x\in E$.
• 若 $X$ 是一个拓扑空间，且 $Y$ 是一个 Banach 空间（具备范数 $\Vert \cdot {\Vert }_Y$），则 $\mathcal{C}(X,Y)$ 表示定义域为 $X$、取值于 $Y$ 的所有连续且有界的函数集合。
  • 如果 $X$ 是紧空间，则连续性自动蕴含了有界性，此时 $\mathcal{C}(X,Y)$ 包含所有连续函数。
  • 对于每个 $f\in \mathcal{C}(X,Y)$，我们定义其上确界范数(Supremum Norm)为：
    $\Vert f\Vert ={\sup }_{x\in X}\Vert f(x){\Vert }_Y$
  • 由于函数是有界的，故 $\Vert f\Vert <\infty$。
  • 显然，$\Vert f\Vert =0$ 当且仅当对于所有 $x\in X$ 都有 $f(x)=0$（即 $f$ 是零元素）。
  • 对于 $f,g\in \mathcal{C}(X,Y)$，利用 $Y$ 空间范数的三角不等式可知：
    $\Vert f(x)+g(x){\Vert }_Y\le \Vert f(x){\Vert }_Y+\Vert g(x){\Vert }_Y\le \Vert f\Vert +\Vert g\Vert$
    因此有 $\Vert f+g\Vert \le \Vert f\Vert +\Vert g\Vert$。
• 如果我们定义 $f,g\in \mathcal{C}(X,Y)$ 之间的距离为 $\Vert f-g\Vert$，则 $\mathcal{C}(X,Y)$ 构成一个度量空间。更进一步地，由于 $Y$ 是 Banach 空间，$\mathcal{C}(X,Y)$ 本身也成为一个 Banach 空间。
• Accordingly, closed subsets of $\mathcal{C}(X)$ are sometimes called uniformly closed, the closure of a set $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{C}(X)$ is called its uniform closure, and so on.

性质

1. （任意集合 $\to$ 完备度量空间） The sequence of functions $\{f_n\}$, defined on $E$, converges uniformly on $E$ if and only if for every $\epsilon >0$ there exists an integer $N$ such that $m\ge N$, $n\ge N$, $x\in E$ implies $|f_n(x)-f_m(x)|\le \epsilon .$
2. （任意集合 $\to$ 度量空间） Suppose ${\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x)=f(x)(x\in E).$
   Put $M_n={\sup }_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|.$ Then $f_n\to f$ uniformly on $E$ if and only if $M_n\to 0$ as $n\to \infty$.
3. （任意集合 $\to$ Banach 空间） Suppose $\{f_n\}$ is a sequence of functions defined on $E$, and suppose $|f_n(x)|\le M_n(x\in E,n=1,2,3,\dots ).$ Then $\sum f_n$ converges uniformly on $E$ if $\sum M_n$ converges.
4. （度量空间 $\to$ 完备度量空间） Suppose $f_n\to f$ uniformly on a set $E$ in a metric space. Let $x$ be a limit point of $E$, and suppose that
   ${\lim }_{t\to x}{f}_n(t)=A_n(n=1,2,3,\dots ).$
   Then $\{A_n\}$ converges, and
   ${\lim }_{t\to x}f(t)={\lim }_{n\to \infty }{A}_n.$
   In other words, the conclusion is that
   ${\lim }_{t\to x}{\lim }_{n\to \infty }{f}_n(t)={\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{t\to x}{f}_n(t).$
5. （度量空间 $\to$ 完备度量空间） If $\{f_n\}$ is a sequence of continuous functions on $E$, and if $f_n\to f$ uniformly on $E$, then $f$ is continuous on $E$.
6. （紧空间 $\to \mathbb{R}$） Suppose $K$ is compact, and
   • (a) $\{f_n\}$ is a sequence of continuous functions on $K$,
   • (b) $\{f_n\}$ converges pointwise to a continuous function $f$ on $K$,
   • (c) $f_n(x)\ge f_{n+1}(x)$ for all $x\in K,n=1,2,3,\dots .$
     Then $f_n\to f$ uniformly on $K$.
7. $\mathcal{C}(X)$ is a complete metric space.
8. Let $\alpha$ be monotonically increasing on $[a,b]$. Suppose $f_n\in \mathcal{R}(\alpha )$ on $[a,b]$, for $n=1,2,3,\dots$, and suppose $f_n\to f$ uniformly on $[a,b]$. Then $f\in \mathcal{R}(\alpha )$ on $[a,b]$, and $${\int }_a^{b}fd\alpha =\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_{n}d\alpha .$$ 其中$\mathcal{R}(\alpha )$表示关于 $\alpha$ 的 Riemann-Stieltjes 可积函数类。这个性质可以推广到多维，见下一条性质。
9. 设 $\alpha$ 是在 ${\mathbb{R}}^d$ 上的 L-S 函数，$\{f_n\}$ 是一列定义在超矩形 $I=(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 上的函数，且每个 $f_n$ 在 $I$ 上关于 $\alpha$ 是 R-S 可积的。若 $f_n\to f$ 在 $I$ 上一致收敛，则 $f$ 在 $I$ 上关于 $\alpha$ 也是 R-S 可积的，且 $${\int }_{I}fd\alpha =\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_I{f}_{n}d\alpha .$$
10. 设 $\alpha$ 是 ${\mathbb{R}}^d$ 上的 L-S 函数，$\{f_n\}$ 是一列定义在超矩形 $I=(\mathbf{a},\mathbf{b}]$ 上的函数，且每个 $f_n$ 在 $I$ 上关于 $\alpha$ 是 R-S 可积的。
    若级数 $$f(\mathbf{x})=\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(\mathbf{x})$$ 在 $I$ 上一致收敛，则 $f$ 在 $I$ 上关于 $\alpha$ 也是 R-S 可积的，且 $${\int }_{I}fd\alpha =\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_I{f}_{n}d\alpha .$$