拓展实数域(广义实数)

1. 前置

• 实数

2. 拓展实数域

$\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$
其中$-\infty$和$+\infty$是两个新的元素，且满足$-\infty <x<+\infty$对所有$x\in \mathbb{R}$成立

$\text{Definition}$. (上确界) if E has a upper bound, then the least upper bound of $E$ is the supremum of $E$,denoted by $\sup (E)$, if E not has a upper bound, then the supremum of $E$ is $+\infty$

因为有最小上界属性的全序集都有最大下界属性，因此可以定义下确界

$\text{Definition}$. (下确界) if E has a lower bound, then the greatest lower bound of $E$ is the infimum of $E$,denoted by $\inf (E)$, if E not has a lower bound, then the infimum of $E$ is $-\infty$

$\text{Lemma}$. $\inf (E)=-\sup (-E)$

尽管 $-\infty ,\infty$ 本身都不是实数 (被称作广义实数), 然而作为规定, 它们与实数 $x$ 之间有如下序关系及代数运算:

◎ 序: $-\infty <x<\infty$;
◎ 加法: $(\pm \infty )+(\pm \infty )=x+(\pm \infty )=(\pm \infty )+x=\pm \infty$;
◎ 减法: $x-(\mp \infty )=(\pm \infty )-x=(\pm \infty )-(\mp \infty )=\pm \infty$;
◎ 乘法: $(\pm \infty )\cdot (\pm \infty )=+\infty ,(\pm \infty )\cdot (\mp \infty )=-\infty$,

$x\cdot (\pm \infty )=(\pm \infty )\cdot x=\{\begin{array}{ll}\pm \infty ,& x>0,\\ 0,& x=0,\\ \mp \infty ,& x<0;\end{array}$

◎ 除法: $\frac{x}{\pm \infty }=0,\frac{\pm \infty }{x}=\{\begin{array}{ll}\pm \infty ,& x>0,\\ \mp \infty ,& x<0;\end{array}$
◎ 绝对值: $|\pm \infty |=+\infty$.
此外, $(\pm \infty )+(\mp \infty ),(\pm \infty )-(\pm \infty ),\frac{\pm \infty }{0},\frac{x}{0},\frac{\pm \infty }{\pm \infty },\frac{\pm \infty }{\mp \infty }$ 都没有意义.

拓展实数域上序的性质

• 三一律： 对于任何 $a,b\in \overline{\mathbb{R}}$，$a<b,a=b,a>b$ 有且仅有一个成立。这是 $\overline{\mathbb{R}}$ 作为全序集的核心。
• 传递性： $a<b$ 且 $b<c⟹a<c$。
• 若 $b\le c$，且对于 $a\in \bar{\mathbb{R}}$，满足 $a+b$ 与 $a+c$ 均有定义，则：$a+b\le a+c$

确界的性质：设 $A,B$ 是拓展实数域上的非空集合，$k$ 是实数

• $\sup (A+B)=\sup A+\sup B$
• $\inf (A+B)=\inf A+\inf B$
• 当 $k\ge 0$ 时：
  • $\sup (kA)=k\sup A$
  • $\inf (kA)=k\inf A$
• 当 $k<0$ 时（方向反转）：
  • $\sup (kA)=k\inf A$
  • $\inf (kA)=k\sup A$

3. 证明

在不触发加法未定式的前提下，分配律在 $\overline{\mathbb{R}}$ 上对任意实数系数 $a\in \mathbb{R}$ 恒成立。

在扩展实数域 $\overline{\mathbb{R}}=[-\infty ,+\infty ]$ 中，乘法对加法的分配律为：

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

为使等式良定义且成立，必须满足：

1. 无加法未定式：表达式中所有的加法（$b+c$ 与 $ab+ac$）均不能出现 $\infty -\infty$ 或 $-\infty +\infty$。
2. 零乘无穷大约定：严格规定 $0\cdot (\pm \infty )=0$。

由于 $a,b,c\in \mathbb{R}$ 时分配律显然成立，以下仅讨论涉及 $\pm \infty$ 或 $0$ 的边界情况：

3.1. 情况一：$a=0$

无论 $b+c$ 为何值，由约定知：

• $\text{左式}=0\cdot (b+c)=0$
• $\text{右式}=0\cdot b+0\cdot c=0+0=0$
• 恒有 $\text{左式}=\text{右式}$。

3.2. 情况二：$a>0$

不妨设 $b=+\infty$。因加法良定义，必有 $c\in (-\infty ,+\infty ]$，从而 $b+c=+\infty$。

• $\text{左式}=a\cdot (+\infty )=+\infty$
• $\text{右式}=a\cdot (+\infty )+a\cdot c=(+\infty )+a\cdot c=+\infty$（因 $a>0⟹a\cdot c>-\infty$）
• 恒有 $\text{左式}=\text{右式}=+\infty$（$b=-\infty$ 时同理可证两端均为 $-\infty$）。

3.3. 情况三：$a<0$

仍设 $b=+\infty$，则 $c\in (-\infty ,+\infty ]$，从而 $b+c=+\infty$。

• $\text{左式}=a\cdot (+\infty )=-\infty$
• $\text{右式}=a\cdot (+\infty )+a\cdot c=(-\infty )+a\cdot c=-\infty$（因 $a<0⟹a\cdot c<+\infty$）
• 恒有 $\text{左式}=\text{右式}=-\infty$。

Q.E.D.

交换律 (Commutativity)

定理（加法交换律）：设 $x,y\in \overline{\mathbb{R}}$。若 $x+y$ 良定义，则 $y+x$ 亦良定义，且

$x+y=y+x.$

证明：分三种情况讨论。

1. $x,y\in \mathbb{R}$：通常实数加法满足交换律，显然成立。

2. 其中一个为 $+\infty$：不妨设 $x=+\infty$。由 $x+y$ 良定义知 $y\ne -\infty$，即 $y\in (-\infty ,+\infty ]$。由定义：
   $x+y=(+\infty )+y=+\infty ,y+x=y+(+\infty )=+\infty .$

3. 其中一个为 $-\infty$：不妨设 $x=-\infty$，同理 $y\in [-\infty ,+\infty )$。由定义：
   $x+y=(-\infty )+y=-\infty ,y+x=y+(-\infty )=-\infty .$

综上，加法交换律在 $\overline{\mathbb{R}}$ 上有意义即成立。$■$

结合律 (Associativity)

由于 $(+\infty )+(-\infty )$ 未定义，结合律在 $\overline{\mathbb{R}}$ 上不能无条件成立。例如：

$[(+\infty )+(-\infty )]+1\text{未定义},(+\infty )+[(-\infty )+1]=(+\infty )+(-\infty )\text{未定义}.$

下面给出两种核心情形下的成立条件。

情形一：非负广义实数上的无条件结合律

定理 1：设 $x,y,z\in [0,+\infty ]$，则加法无条件满足结合律：

$(x+y)+z=x+(y+z).$

证明：元素均非负，运算过程绝不出现 $-\infty$，所有中间运算均良定义。

• 若 $x,y,z\in [0,+\infty )$：退化为 $\mathbb{R}$ 上结合律，显然成立。
• 若至少有一个为 $+\infty$：
  • 左端：若 $x$ 或 $y$ 为 $+\infty$，则 $x+y=+\infty$，进而 $(+\infty )+z=+\infty$；若 $x,y$ 有限而 $z=+\infty$，则 $(x+y)+(+\infty )=+\infty$。
  • 右端：若 $y$ 或 $z$ 为 $+\infty$，则 $y+z=+\infty$，进而 $x+(+\infty )=+\infty$；若 $y,z$ 有限而 $x=+\infty$，则 $(+\infty )+(y+z)=+\infty$。
  • 两端均等于 $+\infty$，等式成立。$■$

情形二：一般广义实数上的有条件结合律

定理 2：设 $x,y,z\in \overline{\mathbb{R}}$。若 $x,y,z$ 不包含异号无穷大（即要么全无 $+\infty$，要么全无 $-\infty$），则

$(x+y)+z=x+(y+z).$

证明：不失一般性，假设无 $-\infty$（即元素只能是有限实数或 $+\infty$）。

• 若 $x,y,z\in \mathbb{R}$：退化为实数结合律，显然成立。
• 若至少有一个为 $+\infty$：排除了 $-\infty$，任意元素与 $+\infty$ 相加均为 $+\infty$，不会触发未定义。
  • 左端：$x=+\infty$ 或 $y=+\infty$ 时 $x+y=+\infty$，进而 $(+\infty )+z=+\infty$；$x,y$ 有限而 $z=+\infty$ 时，$(x+y)+(+\infty )=+\infty$。
  • 右端：$y=+\infty$ 或 $z=+\infty$ 时 $y+z=+\infty$，进而 $x+(+\infty )=+\infty$；$y,z$ 有限而 $x=+\infty$ 时，$(+\infty )+(y+z)=+\infty$。
  • 两端恒为 $+\infty$，等式成立。

无 $+\infty$ 的情形对称可证。$■$