平方可积

本节的积分均表示 Lebesgue 积分。

前置

• Lebesgue-integral

定义

设 $(X,\Sigma ,\mu )$ 是一个任意测度空间，其中：

• $X$ 是非空集合；
• $\Sigma$ 是 $X$ 上的 $\sigma$-代数；
• $\mu$ 是 $\Sigma$ 上的测度。

在可测函数中定义关系

$$f\sim g⟺f(x)=g(x)\text{a.e. }(\mu ).$$

该关系满足自反性、对称性与传递性，因此是等价关系。对应的等价类记为

$$[f]=\{g\mid g=f\text{ a.e. }(\mu )\}.$$

严格意义上的 $L^2(X,\mu )$ 不是“函数集合”，而是平方可积函数等价类构成的商空间：

$$L^2(X,\mu ):=\left\{[f]|f:X\to \mathbb{C}\text{ 可测且 }{\int }_X|f(x){|}^{2}d\mu <+\infty \right\}.$$

注：当 $X=[a,b]$ 且 $\mu$ 为勒贝格测度时，就退化为熟悉的区间情形 $L^2([a,b])$。

等价类上的线性与内积运算（对 $[f],[g]\in L^2(X,\mu )$，$\alpha \in \mathbb{C}$）定义为：

• 加法：$[f]+[g]:=[f+g]$
• 数乘：$\alpha [f]:=[\alpha f]$
• 内积：$⟨[f],[g]⟩:={\int }_{X}f(x)\overline{g(x)}d\mu$

良定性（Well-definedness）注记：若 $f_1\sim f_2$ 且 $g_1\sim g_2$，则

$${\int }_X{f}_1\overline{g_1}d\mu ={\int }_X{f}_2\overline{g_2}d\mu .$$

因此积分值与代表元选择无关，定义是良定的。

为了书写简便，后续证明中我们将等价类 $[f]$ 直接简记为 $f$，但其本质依然代表整个等价类。

设标量域为复数域 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$（实数域只需去除共轭符号，证明完全兼容）。

核心部分 I：向量空间公理（线性空间的封闭性）

要证明 $L^2(X,\mu )$ 是向量空间，先验证对线性组合封闭。设任意 $f,g\in L^2(X,\mu )$ 且 $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$，需证 $\alpha f+\beta g\in L^2(X,\mu )$。

证明：对任意 $x\in X$，由三角不等式，

$$|\alpha f(x)+\beta g(x)|\le |\alpha ||f(x)|+|\beta ||g(x)|.$$

再用基本不等式 $(u+v{)}^2\le 2u^2+2v^2$：

$$|\alpha f(x)+\beta g(x){|}^2\le 2|\alpha {|}^2|f(x){|}^2+2|\beta {|}^2|g(x){|}^2.$$

两边积分得

$${\int }_X|\alpha f+\beta g{|}^{2}d\mu \le 2|\alpha {|}^2{\int }_X|f{|}^{2}d\mu +2|\beta {|}^2{\int }_X|g{|}^{2}d\mu .$$

右侧有限（因为 $f,g\in L^2(X,\mu )$），故左侧也有限，即 $\alpha f+\beta g\in L^2(X,\mu )$。
因此空间对线性运算封闭。

核心部分 II：内积公理的四项验证

考虑映射

$$⟨\cdot ,\cdot ⟩:L^2(X,\mu )\times L^2(X,\mu )\to \mathbb{C},⟨f,g⟩:={\int }_{X}f\overline{g}d\mu .$$

验证其满足四条内积公理：

1. 共轭对称性（Conjugate Symmetry）

   要证：$⟨f,g⟩=\overline{⟨g,f⟩}$。

   $$\overline{⟨g,f⟩}=\overline{{\int }_{X}g\overline{f}d\mu }={\int }_X\overline{g\overline{f}}d\mu ={\int }_{X}f\overline{g}d\mu =⟨f,g⟩.$$

2. 第一变元线性（Linearity in the First Argument）

   要证：$⟨\alpha f_1+\beta f_2,g⟩=\alpha ⟨f_1,g⟩+\beta ⟨f_2,g⟩$。

   $$\begin{array}{rl}⟨\alpha f_1+\beta f_2,g⟩& ={\int }_X(\alpha f_1+\beta f_2)\overline{g}d\mu \\ & =\alpha {\int }_X{f}_1\overline{g}d\mu +\beta {\int }_X{f}_2\overline{g}d\mu \\ & =\alpha ⟨f_1,g⟩+\beta ⟨f_2,g⟩.\end{array}$$

3. 非负性（Non-negativity）

   要证：$⟨f,f⟩\ge 0$。

   $$⟨f,f⟩={\int }_{X}f\overline{f}d\mu ={\int }_X|f{|}^{2}d\mu \ge 0.$$

4. 正定性（Positive Definiteness）

   要证：$⟨f,f⟩=0⟺f=0$（$0=[0]$）。

   • 充分性：若 $f=0$，则 $f=0$ a.e.，故 ${\int }_X|f{|}^{2}d\mu =0$。
   • 必要性：若 ${\int }_X|f{|}^{2}d\mu =0$，由“非负函数积分为 0 则其 a.e. 为 0”知 $|f{|}^2=0$ a.e.，从而 $f=0$ a.e.，即 $f=[0]=0$。

因此，$L^2(X,\mu )$ 在上述内积下是内积空间；