无穷小

1. 前置

• 向量空间
• funct-limit

2. 无穷小 (Infinitesimal / Negligible Function)

2.1. 定义

设 $(X,d_X)$ 为度量空间，$(Y,d_Y)$ 为带基点的度量空间（其基点记为 $0_Y$）。
设 $E\subseteq X$，$x_0$ 是 $E$ 的一个极限点。映射 $f:E\to Y$ 被称为 当 $x\to x_0$ 时的无穷小，如果：
${\lim }_{x\to x_0}{d}_Y(f(x),0_Y)=0$

等价于：
$\forall ϵ>0,\exists \delta >0,\text{ s.t. }\forall x\in E,0<d_X(x,x_0)<\delta ⟹d_Y(f(x),0_Y)<ϵ$

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3. 高阶无穷小 (Higher-Order Infinitesimal)

设 $(X,d_X)$ 是度量空间，$(Y,\Vert \cdot {\Vert }_Y)$ 是赋范线性空间。

3.1. 定义

设 $f,g:E\to Y$ 是当 $x\to x_0$ 时的两个无穷小。若满足：
$\forall ϵ>0,\exists \delta >0,\text{ s.t. }\forall x\in E,0<d_X(x,x_0)<\delta ⟹\Vert f(x){\Vert }_Y\le ϵ\Vert g(x){\Vert }_Y$
则称当 $x\to x_0$ 时，$f$ 是比 $g$ 高阶的无穷小，记作：
$f(x)=o(g(x))(x\to x_0)$

注：使用不等式定义避开了 $\Vert g(x){\Vert }_Y=0$ 时分母无意义的问题。

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4. 性质与运算 (Properties of Little-o)

设 $f,g$ 均为 $x\to x_0$ 时的无穷小，以下性质在通用空间中成立：

1. 传递性：若 $f=o(g)$ 且 $g=o(h)$，则 $f=o(h)$。
2. 算术运算（依赖 $Y$ 的线性结构）：
   • $o(f)\pm o(f)=o(f)$
   • $o(c\cdot f)=o(f)$ （$c\in F,c\ne 0$）
   • $f\cdot o(1)=o(f)$ （其中 $o(1)$ 指代一般的标量无穷小）
3. 与范数的关系：
   $f(x)=o(g(x))⟺\Vert f(x){\Vert }_Y=o(\Vert g(x){\Vert }_Y)$
   左侧为 $Y$ 中的向量级比较，右侧为 $\mathbb{R}$ 中的标量级比较。