广义实值函数的正负分解

定义

• 设 $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ 是定义在集合 $X$ 上的广义实值函数。正部 (Positive Part) $f^{+}$ 定义为：$f^{+}(x)=\max \{f(x),0\}$负部 (Negative Part) $f^{-}$ 定义为：$f^{-}(x)=\max \{-f(x),0\}$

性质

1. 原函数分解：$f=f^{+}-f^{-}$
2. 绝对值分解：$|f|=f^{+}+f^{-}$
3. 单调性： 如果 $f\le g$，则 $f^{+}\le g^{+}$ 且 $f^{-}\ge g^{-}$。
4. 复合函数：
   $(g\circ f{)}^{+}=g^{+}\circ f$
   $(g\circ f{)}^{-}=g^{-}\circ f$
5. (1) $(f+g{)}^{+}⩽f^{+}+g^{+}$, $(f+g{)}^{-}⩽f^{-}+g^{-}$;
   (2) $(fg{)}^{+}=f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}$, $(fg{)}^{-}=f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}$;
   (3) 当 $c⩾0$ 时, $(cf{)}^{+}=c{f}^{+}$, $(cf{)}^{-}=c{f}^{-}$;
   (4) 当 $c<0$ 时, $(cf{)}^{+}=-c{f}^{-}$, $(cf{)}^{-}=-c{f}^{+}$.

证明

命题 正负分解的移项等式

设 $f,g:X\to \overline{\mathbb{R}}$。若对任意 $x\in X$，$f(x)+g(x)$ 均良定义（即不出现 $\infty -\infty$ 型不定式），记 $s=f+g$。则其正部与负部满足如下逐点恒等式：

$s^{+}+f^{-}+g^{-}=s^{-}+f^{+}+g^{+}$

该等式两端每一项均属于 $[0,+\infty ]$，式中仅涉及非负项的加法，在扩展实数系下完全良定义。

证明

固定任意 $x\in X$，记 $a=f(x),b=g(x),c=a+b$。按 $c$ 的取值分三种情况验证：

情形 1：$a,b\in \mathbb{R}$（均为有限实数）。

此时 $c\in \mathbb{R}$，所有正负部均为有限非负实数。由 $c=a+b$ 及正负分解 $c=c^{+}-c^{-}$、$a=a^{+}-a^{-}$、$b=b^{+}-b^{-}$ 得

$c^{+}-c^{-}=a^{+}-a^{-}+b^{+}-b^{-}.$

在 $\mathbb{R}$ 中直接移项（将 $c^{-}+a^{-}+b^{-}$ 加到等式两端）即得

$c^{+}+a^{-}+b^{-}=c^{-}+a^{+}+b^{+}.$

情形 2：$c=+\infty$。

由 $a+b$ 良定义知 $\min \{a,b\}>-\infty$，故 $a,b$ 中至少有一个为 $+\infty$。

不妨设 $a=+\infty$，则 $a^{+}=+\infty$，$a^{-}=0$，$c^{+}=+\infty$，$c^{-}=0$。

由于 $b\ne -\infty$，$b^{-}\in [0,+\infty )$（若 $b=+\infty$ 则 $b^{-}=0$）。代入：

$$\begin{array}{rl}\text{左端}& =c^{+}+a^{-}+b^{-}=+\infty +0+b^{-}=+\infty ,\\ \text{右端}& =c^{-}+a^{+}+b^{+}=0+(+\infty )+b^{+}=+\infty .\end{array}$$

两端相等。

情形 3：$c=-\infty$。

由良定义知 $\max \{a,b\}<+\infty$，故 $a,b$ 中至少有一个为 $-\infty$。

不妨设 $a=-\infty$，则 $a^{+}=0$，$a^{-}=+\infty$，$c^{+}=0$，$c^{-}=+\infty$。

由于 $b\ne +\infty$，$b^{+}\in [0,+\infty )$。代入：

$$\begin{array}{rl}\text{左端}& =c^{+}+a^{-}+b^{-}=0+(+\infty )+b^{-}=+\infty ,\\ \text{右端}& =c^{-}+a^{+}+b^{+}=+\infty +0+b^{+}=+\infty .\end{array}$$

两端相等。

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三种情形覆盖所有可能，等式逐点成立。$\square$