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联合高斯

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前置

性质

  1. 设联合多元高斯分布的随机向量 ，其均值向量 ，协方差矩阵 。则在给定 的条件下， 的条件分布 仍然是高斯分布，其均值与协方差公式为：
    • 条件均值：
    • 条件协方差：

证明

命题

设联合多元高斯分布的随机向量 ，其均值向量 ，协方差矩阵 。则在给定 的条件下， 的条件分布 仍然是高斯分布，其均值与协方差公式为：

  • 条件均值：
  • 条件协方差：

证明：

将 分解为两部分：一部分与 线性相关，另一部分 与 完全独立（不相关）。
构造一个新变量：

我们要通过选择合适的矩阵 ，使得 和 的协方差为 0（对于高斯分布，不相关即意味着独立）。

计算 与 的协方差：

根据已知的联合协方差矩阵块：

代入上式并令其等于 0：

所以，我们成功构造了独立变量：

接下来计算 的均值与方差
由于 是高斯随机变量的线性组合，它本身也是高斯分布。我们直接计算其均值和方差：

  • 均值：
  • 方差：

    展开后利用 ，可简化为：

根据构造，我们可以把 写回成：

当给定 的具体观测值时：

  1. 因为 与 独立，所以给定 不会改变 的分布。
  2. 此时公式中的 变成了一个常数。

因此，在给定 的条件下， 的均值和方差为：

  • 条件均值：
  • 条件协方差（常数不影响方差）：

Q.E.D.

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