分布函数的类型及分解

前置

• 相互奇异与Lebesgue分解定理

定义

• 定义 8.29 设 $\mu$ 是 ${\mathbb{R}}^d$ 上的 Borel 测度.

  1. 称 $\mu$ 是离散型测度 (measure of discrete type), 如果存在至多可数集 $A=\{{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\cdots \}\subset {\mathbb{R}}^d$, 使得 $\mu (A)=\mu ({\mathbb{R}}^d)$;
  2. 称 $\mu$ 是奇异连续测度 (singular continuous measure), 如果 $\mu \{\mathbf{x}\}=0$ 对任意的 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^d$ 都成立, 且 $\mu \perp \lambda$;
  3. 称 $\mu$ 是绝对连续测度 (absolutely continuous measure), 如果 $\mu \ll \lambda$.

• 定义 8.31 设 $F$ 是 ${\mathbb{R}}^d$ 上的 d.f., $P_F$ 是 $\mathcal{B}({\mathbb{R}}^d)$ 上由 $F$ 诱导的概率测度.

  1. 称 $F$ 是离散型分布函数, 如果 $P_F$ 是离散型测度;
  2. 称 $F$ 是奇异连续分布函数, 如果 $P_F$ 是奇异连续测度;
  3. 称 $F$ 是绝对连续分布函数, 如果 $P_F$ 是绝对连续测度.

性质

1. 定理 8.30 设 $\mu$ 是 ${\mathbb{R}}^d$ 上的有限 Borel 测度, 则存在离散型测度 ${\mu }_d$, 奇异连续测度 ${\mu }_{sc}$ 及绝对连续测度 ${\mu }_{ac}$, 使得
   $\mu ={\mu }_d+{\mu }_{sc}+{\mu }_{ac}$
   并且这种分解是唯一的.
2. 定理 8.32 $F$ 是 $d$ 维离散型 d.f. 当且仅当存在至多可数集 $E=\{{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\cdots \}\subset {\mathbb{R}}^d$ 及定义在 $E$ 上的函数 $p(\mathbf{x})$, 使得
   $F(\mathbf{x})={\sum }_{n}p({\mathbf{x}}_n)I_{[{\mathbf{x}}_n,\infty )}(\mathbf{x}),\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^d$
   称 $p(\cdot )$ 为 $F$ 的分布列 (probability mass function). 这表明分布列是概率分布关于计数测度的 Radon-Nikodým 导数.

证明

分布列是离散概率测度关于计数测度的 Radon-Nikodým 导数

证明：分布列是离散概率测度关于计数测度的 Radon-Nikodým 导数

设 $\mu$ 为由分布函数 $F(\mathbf{x})$ 诱导的 ${\mathbb{R}}^d$ 上的概率测度。
设 $E=\{{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\cdots \}$ 为其至多可数的支撑集。
设 $\nu$ 为定义在 $E$ 上的计数测度。
令 $A_{\mathbf{x}}=(-\infty ,\mathbf{x}]$ 表示 $d$ 维区间，根据分布函数的定义，有 $\mu (A_{\mathbf{x}})=F(\mathbf{x})$。

由已知定理：

$\mu (A_{\mathbf{x}})=F(\mathbf{x})={\sum }_{n}p({\mathbf{x}}_n)I_{[{\mathbf{x}}_n,\infty )}(\mathbf{x})$

由于指示函数 $I_{[{\mathbf{x}}_n,\infty )}(\mathbf{x})=1⟺\mathbf{x}\ge {\mathbf{x}}_n⟺{\mathbf{x}}_n\in (-\infty ,\mathbf{x}]⟺{\mathbf{x}}_n\in A_{\mathbf{x}}$，该求和式可等价改写为支撑集 $E$ 中落入 $A_{\mathbf{x}}$ 内部元素的和：

$\mu (A_{\mathbf{x}})={\sum }_{{\mathbf{x}}_n\in A_{\mathbf{x}}}p({\mathbf{x}}_n)$

根据关于计数测度 $\nu$ 的勒贝格积分定义，对于任意 Borel 集 $B$ 及非负函数 $p(\cdot )$，其积分为求和形式：${\int }_{B}p(\mathbf{u})d\nu (\mathbf{u})={\sum }_{{\mathbf{x}}_n\in B}p({\mathbf{x}}_n)$。

对任意多维区间 $A_{\mathbf{x}}$，成立等式：

$\mu (A_{\mathbf{x}})={\int }_{A_{\mathbf{x}}}p(\mathbf{u})d\nu (\mathbf{u})$

令集类 $\mathcal{C}=\{(-\infty ,\mathbf{x}]\mid \mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^d\}$。
易知 $\mathcal{C}$ 是一个 $\pi$ 类，且生成了 $d$ 维 Borel $\sigma$-代数，即 $\sigma (\mathcal{C})=\mathcal{B}({\mathbb{R}}^d)$。
定义集函数 $\tilde{\mu }(B)={\int }_{B}p(\mathbf{u})d\nu (\mathbf{u})$。由于 $p(\cdot )$ 为分布列，$\tilde{\mu }$ 构成一个概率测度。
现测度 $\mu$ 与 $\tilde{\mu }$ 均为有限测度，且在 $\pi$ 类 $\mathcal{C}$ 上处处相等。由测度唯一性定理，$\mu$ 与 $\tilde{\mu }$ 在 $\sigma (\mathcal{C})$ 上完全一致，即对所有 Borel 集 $B\in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^d)$，均有：

$\mu (B)={\int }_{B}p(\mathbf{u})d\nu (\mathbf{u})$

由 Radon-Nikodým 定理的定义，上式表明函数 $p(\mathbf{x})$ 为概率测度 $\mu$ 关于计数测度 $\nu$ 的 Radon-Nikodým 导数，即：

$\frac{d\mu }{d\nu }(\mathbf{x})=p(\mathbf{x})$

Q.E.D.