同态映射

前置

• 二元运算

定义

• 同态映射: 集合$A$和$A^{\prime }$上有二元运算$\ast$和${\ast }^{\prime }$，称$\varphi :A\to A^{\prime }$为同态映射，如果$\forall a,b\in A,\varphi (a\ast b)=\varphi (a){\ast }^{\prime }\varphi (b)$
• 同构映射: 称$\varphi :A\to A^{\prime }$为同构映射，如果$\varphi$是双射且是同态映射
• 若(某性质$P$在 $A$ 中成立 $⟹$ 性质$P$在$\varphi [A]$也成立)，则称同态映射保留$P$
• 称$\{a\in A|\varphi (a)=e^{\prime }\}$为同态映射的核，记作$Ker(\varphi )$

性质

1. 同态映射保留交换律
2. 同态映射保留结合律
3. 同态映射保留单位元：设$e$是$A$的单位元，则$\varphi (e)$是$\varphi [A]$的单位元
   (这个单位元是$\varphi [A]$的单位元，不一定是$A^{\prime }$的单位元，而且$A^{\prime }$不一定有单位元。)
4. 同态映射保留逆元: 设$a^{-1}$是$a$的逆元，则$\varphi (a^{-1})$是$\varphi (a)$的逆元
5. 同态映射保留子集的封闭性：$a^{\prime },b^{\prime }\in \varphi [G^{\prime }]⟹a^{\prime }{b}^{\prime }\in \varphi [G^{\prime }]$
6. 同态映射的复合为同态映射。
7. 同态映射的逆像保留子集的封闭性，即，$a,b\in {\varphi }^{-1}[H^{\prime }],H^{\prime }\subset A^{\prime }\Rightarrow ab\in {\varphi }^{-1}[H^{\prime }]$