向量空间

• 1. 前置
• 2. Vector Space
  • 2.1. Properties of Vector Space

1. 前置

• 群论(二)

2. Vector Space

$F$ is a field, $V$ is a commutative group
Define scalar multiplication

$$\sigma :F\times V\to V$$

Denote $a\sigma v$ as $av$

If $\sigma$ satisfies the following conditions, then $V$ is a vector space over $F$, or a linear space.

• $(a+b)v=av+bv$
• $a(bv)=(ab)v$
• $a(u+v)=au+av$
• $1v=v$

A linear combination of $v_1,v_2,\cdots ,v_k\in V$ is a vector $c_1{v}_1+c_2{v}_2+\cdots +c_k{v}_k$, where $c_i\in F$.

The span of $S\subseteq V$, denoted $\mathrm{span}(S)$, is the set of all linear combinations of finitely many vectors in $S$. For a finite sequence,

$\mathrm{span}(v_1,v_2,\cdots ,v_k)=\{c_1{v}_1+c_2{v}_2+\cdots +c_k{v}_k\mid c_i\in F\}.$

$S=\{v_i|i\in I\}$ is linearly independent if: $\forall k\in \mathbb{N},\forall B=\{v_i\in S:i\in [k]\wedge (\forall i,j\in [k],i\ne j\Rightarrow v_i\ne v_j)\},{\sum }_{i=1}^k{\alpha }_i{v}_i=0\Rightarrow \forall i\in [k],{\alpha }_i=0$

$V$ is generated by $S\subseteq V$ if $V=\mathrm{span}(S)$. If $S$ is linearly independent, then $S$ is a basis of $V$. If $S$ is a finite set, then $V$ is a finite-dimensional vector space.

For $U\subseteq V$, if $\sigma$ restricted on $U$ still satisfies the definition of vector space, i.e., $\sigma :<F,U>\to U$, then $U$ is a subspace of $V$.

For $V$ and $V^{\prime }$, if $L:V\to V^{\prime }$ satisfies $L(av+bw)=aL(v)+bL(w)$ for all $a,b\in F$ and all $v,w\in V$, then $L$ is a linear map. If $V=V^{\prime }$, then $L$ is a linear transformation.

Let $V$ and $V^{\prime }$ be vector spaces over the same field $F$. A map $\varphi :V\to V^{\prime }$ is an isomorphism if $\varphi$ is a one-to-one map, $\varphi [V]=V^{\prime }$, and furthermore

$\varphi (a\alpha +b\beta )=a\varphi (\alpha )+b\varphi (\beta )$

for all $\alpha ,\beta \in V$ and all $a\in F$.

The eigenvector $v\ne 0$ and eigenvalue $\lambda$ of a linear transformation $L:V\to V$:

$$\exists v\ne 0,L(v)=\lambda v⟺\exists v\ne 0,(L-\lambda I)(v)=0⟺\text{Ker}(L-\lambda I)\ne \{0\}$$

2.1. Properties of Vector Space

1. $0v=0$
2. $a0=0$
3. $(-a)v=-(av)=a(-v)$
4. $v_1,v_2,...,v_n\in V$线性无关$⟺$ 不存在$v_i$能被其余向量线性表出
5. $v_1,v_2,...,v_n\in V$线性无关$⟺$ $i\in [n],v_i$不能被其前面的向量线性表出
6. 若有限集$S$生成了$V$,则存在$U\subseteq S$使得 $U$ 是 $V$ 的基。所以有限维向量空间有有限基
7. 若$V$是一个有限维向量空间，$S\subseteq V$为线性无关的有限集合，则 $S$可以扩充为$V$的基。且$r\le n$,$r=|S|$ ,$n$ 为 $V$ 的基的基数
8. 有限维向量空间的所有基的基数相同，因此把基的基数称为向量空间的维数，记作$\dim (V)$
9. 子空间的交仍然是子空间
10. $\mathrm{span}(S)$ 是 $V$ 的一个子空间
11. 在同一个域 $F$ 上的向量空间的直和仍是 $F$ 上的向量空间
12. 对于任意一个域$F$,$F^n$是$F$上的向量空间，且$\dim (F^n)=n$
13. $B$ 是有限维向量空间的基 $⟺$ $V$ 中的任意向量都可以被 $B$ 中的元素唯一线性表出
14. 任意有限维向量空间$<F,V>$ (在群意义上)都同构于 $<F,F^n>$
15. 线性映射 $L:V\to V^{\prime }$ 的核是 $V$ 的子空间，像$L(V)$是$V^{\prime }$的子空间。若$V$是有限维的，则$\dim (V)=\dim (\text{Ker}(L))+\dim (\text{Im}(L))$,其中$\text{Im}(L)=L(V)$
16. 线性映射的线性组合仍然是线性映射
17. 设 $L:V\to V$ 是线性变换，${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k\in F$ 两两不同，且每个 ${\lambda }_i$ 都是 $L$ 的特征值。
    • 若 $v_i\ne 0$ 且 $L(v_i)={\lambda }_i{v}_i$，则 $v_1,\dots ,v_k$ 线性无关。
    • 若 $S_i\subseteq \text{Ker}(L-{\lambda }_{i}I)$ 线性无关，则 ${\bigcup }_{i=1}^k{S}_i$ 线性无关。取 $S_i=\{v_i\}$ 即得上一条。
18. 若$V$是有限维的，则一个线性变换$\varphi :V\to V$最多有$n=\dim (V)$个不同的特征值
19. 向量空间$V$上的所有可逆的线性变换在复合映射下构成一个群，被称作 一般线性群（General linear group），记作$GL(V)$
20. 子空间判定。设 $U\subseteq V$。下列三条等价：
    • $U\le V$，即 $U$ 带着 $V$ 的加法与数乘本身是 $F$ 上的向量空间；
    • $0\in U$，且 $U$ 对加法、数乘封闭：$u,v\in U,a\in F⟹u+v\in U,au\in U$；
    • $U\ne \varnothing$，且 $U$ 对二元线性组合封闭：$\forall a,b\in F,\forall u,v\in U,au+bv\in U$。
      「$0\in U$」与「$U\ne \varnothing$」在封闭性假设下等价：若 $U$ 非空且对线性组合封闭，取 $u\in U$，则 $0=0\cdot u\in U$。空集对运算真空封闭，但没有零元，因此不是子空间。
      所以子空间就是 $V$ 中对线性组合封闭的非空子集。其余向量空间公理都从 $V$ 继承，不必再验。