域论(域拓展)

前置

• 环论(杂)
• 向量空间

定义

$F$和$E$是两个域，且$F\le E$，$F[x]$是$F$上的多项式环

${\varphi }_a:F[x]\to E,a\in E,{\varphi }_a(f(x))=f(a)$为估值环同态映射

若${\varphi }_a(f(x))=f(a)=0$,则称$a$是$f(x)$的零点

可以将域$E$看作向量空间$<F,E>$(E 是交换群，F 是域，数乘运算与$E$上的乘法一致)

• 称$\alpha \in E$是$F\le E$的代数元，若存在$F[x]$的非零多项式$f(x)$，使得$f(\alpha )=0$

• 称$\alpha \in E$是$F\le E$的超越元，若不存在$F[x]$的非零多项式$f(x)$，使得$f(\alpha )=0$

• 称$E$是$F$的代数扩张，若$E$中的每一个元素都是$F$上的代数元，

若向量空间$<F,E>$是有限维的，则称$E$是$F$的有限扩域，空间的维数记作$[E:F]$

• 称$F$为代数闭域(代数闭包)，若$F[x]$的每一个非零多项式都有零点

域的单拓展(simple extensions、单扩张、简单扩张、简单拓展)：
(1) $F\le E\wedge \alpha \in E$，且$\alpha$是$F$上的代数元，$F(\alpha )={\varphi }_{\alpha }[F[x]]$是$F$的单拓展
(2) $F\le E\wedge \alpha \in E$，且$\alpha$是$F$上的超越元，$F(\alpha )=({\varphi }_{\alpha }[F[x]]\text{的商域})$是$F$的单拓展

$F\le E,S\subseteq E$, $F(S):=\bigcap \{K\le E|F\cup S\subseteq K\}$, 若$S=\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\}$, 则$F(S)=F(\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\})=:F({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$

性质

1. $F[x]$上的理想都是主理想

2. $F[x]$的理想$<p(x)>$是极大理想 $⟺$ $p(x)$是不可约多项式

3. Kronecker 定理：对于任意一个$f(x)\in F[x]$，存在一个于$E\ge F\wedge a\in E$，使得${\varphi }_a(f(x))=f(a)=0$，即每一个$f(x)\in F[x]$都存在一个扩域使得$f(x)$有零点

4. $F\le E\wedge \alpha \in E$,且$\alpha$是$F$上的代数元，存在不可约多项式$p(x)\in F[x]$，使得$p(\alpha )=0$

5. $\alpha \in E\ge F$是超越元 $⟺$ 估值同态映射${\varphi }_{\alpha }:F[x]\to E$是单射

6. $F(\alpha )$的单拓展 $\Rightarrow$ $F(\alpha )$是包含$F$和$\alpha$的最小域

7. $E=F(\alpha )\wedge \alpha$是$F$上的代数元 $\wedge$ $deg(\alpha ,F)=n$ $\Rightarrow$ $E$ 中的元素可以唯一表示：$\beta =b_0+b_1\alpha +b_2{\alpha }^2+\cdots +b_{n-1}{\alpha }^{n-1}$，其中$b_i\in F$

8. $F(\alpha )(\beta )=F(\beta )(\alpha ):=F(\alpha ,\beta ),\forall \alpha ,\beta \in E$, 拓展结果与拓展顺序无关

9. $E=F(\alpha )\wedge \alpha$是$F$上的代数元,则 $E$是$F$的有限扩域

10. $E=F(\alpha )\wedge \alpha$是$F$上的代数元，且$deg(\alpha ,F)=n$,则$E$是一个$n$维的$F$向量空间,基为$\{1,\alpha ,{\alpha }^2,\cdots ,{\alpha }^{n-1}\}$,对于任意$\beta \in E$，都有$\beta$是$F$上的代数元，且$deg(\beta ,F)\le n$,更精确地有$deg(\beta ,F)\mid deg(\alpha ,F)$

11. $[E:F]=1⟺E=F$

12. 有限扩域都是代数扩域

13. $E$是$F$的有限扩域，$K$是$E$的有限扩域，则$K$是$F$的有限扩域，且$[K:F]=[K:E][E:F]$

14. 设$E$是$F$的代数扩域，则$E=F({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)⟺E$是$F$的有限扩域

15. $E$是$F$的扩域，则${\bar{F}}_E=\{a\in E|a\text{是}F\text{上的代数元}\}$是$E$的子域

16. $F$是代数闭域 $⟺$ 每一个$F[x]$的非零多项式都有可以分解成线性因子$(x-a)$的形式

17. 若$F$是代数闭域，$E$是$F$的代数扩域，则$E=F$

18. 每一个域都有一个代数闭包

19. Let $E$ be a field extension of $F$, and let $\alpha \in E$ be algebraic over $F$. Then $\{f(x)\in F[x]|f(\alpha )=0\}=⟨p(x)⟩$ for some polynomial $p(x)\in F[x]$. Furthermore, $p(x)$ is irreducible over $F$. By multiplying by a suitable constant in $F$, we can assume that the coefficient of the highest power of $x$ appearing in $p(x)$ is 1. Such a polynomial having 1 as the coefficient of the highest power of $x$ appearing is a monic polynomial. The unique monic polynomial $p(x)$ in is called the irreducible polynomial for $\alpha$ over $F$ or the minimal polynomial for $\alpha$ over $F$, and it is denoted $\text{irr}(\alpha ,F)$. The degree of the polynomial $\text{irr}(\alpha ,F)$ is called the degree of $\alpha$ over $F$ and this number is denoted by $\mathrm{deg}(\alpha ,F)$.

20. Let $E$ be an extension field of $F$, and let $\alpha \in E$ be algebraic over $F$. Then there is a unique irreducible polynomial $p(x)\in F[x]$ such that $p(x)$ is monic, $p(\alpha )=0$, and for any polynomial $f(x)\in F[x]$ with $f(\alpha )=0,p(x)$ divides $f(x)$.