向量空间的内部直和分解

1. 前置
2. 记号
3. 子空间的和与直和
- 3.1. 和与交
- 3.2. 分解的唯一性
4. 沿补空间的投影
5. 投影与内部直和
- 5.1. 从直和到幂等算子
6. 正交投影
- 6.1. 正交补与正交直和
- 6.2. 自伴性
7. 与商空间
8. 投影的唯一性

1. 前置

2. 记号

设 $V$ 是域 $F$ 上的向量空间。子空间记作 $S, T \leq V$ 。恒等算子记作 $Id_{V}$ ，线性映射 $P : V \to V$ 的像与核分别记作 $Im P$ 与 $ker P$ 。

本文先在一般向量空间中讨论直和与（斜）投影，再在内积空间中讨论正交投影。

3. 子空间的和与直和

3.1. 和与交

设 $S, T \leq V$ 。它们的和与交分别为

S + T := {s + t : s \in S, t \in T}, S \cap T := {v \in V : v \in S 且 v \in T} .

二者都是 $V$ 的子空间。 $S + T$ 是包含 $S$ 与 $T$ 的最小子空间。

证明

先看交。 $0 \in S$ 且 $0 \in T$ ，故 $0 \in S \cap T$ 。若 $x, y \in S \cap T$ ，则 $x, y \in S$ 且 $x, y \in T$ 。 $S, T$ 都是子空间，所以对任意 $α, β \in F$ ，
$α x + β y \in S, α x + β y \in T,$
从而 $α x + β y \in S \cap T$ 。故 $S \cap T \leq V$ 。

再看和。 $0 = 0 + 0 \in S + T$ 。若 $s + t, s^{'} + t^{'} \in S + T$ ，则
$α (s + t) + β (s^{'} + t^{'}) = (α s + β s^{'}) + (α t + β t^{'}) \in S + T,$
因为 $α s + β s^{'} \in S$ 、 $α t + β t^{'} \in T$ 。故 $S + T \leq V$ 。

最后看最小性。对任意 $s \in S$ 、 $t \in T$ ，有 $s = s + 0$ 、 $t = 0 + t$ ，故 $S \subseteq S + T$ 且 $T \subseteq S + T$ 。若 $W \leq V$ 也满足 $S \subseteq W$ 且 $T \subseteq W$ ，则对任意 $s + t \in S + T$ 都有 $s, t \in W$ ，从而 $s + t \in W$ 。因此 $S + T \subseteq W$ 。也就是说， $S + T$ 含于每一个同时包含 $S$ 与 $T$ 的子空间，它是其中最小的。

若还满足

S + T = V, S \cap T = {0},

则称 $V$ 是 $S$ 与 $T$ 的内部直和，记作

V = S \oplus T .

此时称 $T$ 是 $S$ 的一个代数补（complement），也称 $S$ 与 $T$ 互为补空间。

3.2. 分解的唯一性

下列三条彼此等价。

$V = S \oplus T$ 。
$V = S + T$ 且 $S \cap T = {0}$ 。
任意 $v \in V$ 都可以唯一地写成 $v = s + t$ ，其中 $s \in S$ 、 $t \in T$ 。

证明

$(1) ⟺ (2)$ 就是定义。

$(2) \Rightarrow (3)$ ：存在性来自 $V = S + T$ 。若 $v = s + t = s^{'} + t^{'}$ ，则 $s - s^{'} = t^{'} - t \in S \cap T = {0}$ ，故 $s = s^{'}$ 、 $t = t^{'}$ 。

$(3) \Rightarrow (2)$ ：先证集合相等 $V = S + T$ ，即两边互相包含。

$S + T \subseteq V$ ：因为 $S, T \leq V$ ，对任意 $s \in S$ 、 $t \in T$ 都有 $s, t \in V$ ，而 $V$ 对加法封闭，故 $s + t \in V$ 。

$V \subseteq S + T$ ：由 (3) 的存在性，任意 $v \in V$ 都可写成 $v = s + t$ ，其中 $s \in S$ 、 $t \in T$ ，故 $v \in S + T$ 。

因此 $V = S + T$ 。剩下要证 $S \cap T = {0}$ 。取 $x \in S \cap T$ 。由于 $x \in S$ 、 $0 \in T$ ，可以把 $x$ 写成
$x = x + 0, x \in S, 0 \in T .$
由于 $0 \in S$ 、 $x \in T$ ，又可以把同一个 $x$ 写成
$x = 0 + x, 0 \in S, x \in T .$
这是 $x$ 的两种 $S + T$ 分解。由 (3) 的唯一性，两种写法的 $S$ 分量必须相同，也就是 $x = 0$ 。因此 $S \cap T \subseteq {0}$ 。反过来 $0$ 当然属于交，故 $S \cap T = {0}$ 。

4. 沿补空间的投影

4.1. 定义

给定直和分解 $V = S \oplus T$ ，对任意 $v \in V$ ，设其唯一分解为

v = s + t, s \in S, t \in T .

定义

P_{S} (v) := s .

称 $P_{S} : V \to V$ 为沿 $T$ 投影到 $S$ 的投影算子。同理 $P_{T} (v) := t$ 是沿 $S$ 投影到 $T$ 的投影。

4.2. 线性性

设 $v = s + t$ 、 $w = s^{'} + t^{'}$ 。则

α v + β w = (α s + β s^{'}) + (α t + β t^{'}),

其中 $α s + β s^{'} \in S$ 、 $α t + β t^{'} \in T$ 。由分解唯一性，

P_{S} (α v + β w) = α s + β s^{'} = α P_{S} (v) + β P_{S} (w) .

故 $P_{S}$ 是线性映射。

4.3. 像与核

Im P_{S} = S, ker P_{S} = T .

同理 $Im P_{T} = T$ 、 $ker P_{T} = S$ 。

证明

对任意 $s \in S$ ，有 $s = s + 0$ ，故 $P_{S} (s) = s$ 。因此 $S \subseteq Im P_{S}$ 。反之 $P_{S} (v)$ 按定义落在 $S$ 中，故 $Im P_{S} \subseteq S$ 。

$P_{S} (v) = 0$ 当且仅当分解中的 $S$ 分量为 $0$ ，即 $v \in T$ 。故 $ker P_{S} = T$ 。

4.4. 幂等性

若 $v = s + t$ ，则 $P_{S} (v) = s \in S$ ，从而

P_{S}^{2} (v) = P_{S} (s) = s = P_{S} (v) .

所以

P_{S}^{2} = P_{S} .

同理 $P_{T}^{2} = P_{T}$ 。满足 $P^{2} = P$ 的线性算子称为幂等算子，也称为（代数）投影算子。

4.5. 互补投影

由 $v = s + t = P_{S} (v) + P_{T} (v)$ 立即得到

P_{S} + P_{T} = Id_{V},

因此 $P_{T} = Id_{V} - P_{S}$ 。

再由 $Im P_{T} = T = ker P_{S}$ 可知

P_{S} P_{T} = 0, P_{T} P_{S} = 0.

因为 $P_{T} (v) \in T = ker P_{S}$ ，故 $P_{S} (P_{T} (v)) = 0$ ；另一侧同理。

这四条合在一起：

P_{S} + P_{T} = Id_{V}, P_{S}^{2} = P_{S}, P_{T}^{2} = P_{T}, P_{S} P_{T} = P_{T} P_{S} = 0.

5. 投影与内部直和

graph LR
 DirectSum["V = S ⊕ T"] -->|"沿 T 投影到 S"| Idempotent["P² = P"]
 Idempotent -->|"S = Im P, T = ker P"| DirectSum

5.1. 从直和到幂等算子

设 $P : V \to V$ 满足 $P^{2} = P$ 。令

S := Im P, T := ker P .

则 $V = S \oplus T$ ，且 $P$ 恰是沿 $T$ 投影到 $S$ 的投影。

证明

任意 $v \in V$ 可写成
$v = P v + (v - P v) .$
第一项 $P v \in Im P = S$ 。第二项落在核中：
$P (v - P v) = P v - P^{2} v = P v - P v = 0,$
故 $v - P v \in ker P = T$ 。于是 $V = S + T$ 。

若 $x \in S \cap T$ ，则存在 $w$ 使 $x = P w$ ，同时又有 $P x = 0$ 。因此
$x = P w = P^{2} w = P (P w) = P x = 0.$
故 $S \cap T = {0}$ ，即 $V = S \oplus T$ 。

在这个分解下， $v$ 的 $S$ 分量恰好是 $P v$ ，所以 $P$ 就是沿 $T$ 投影到 $S$ 的投影。

因此：

投影映射 = 幂等线性映射

6. 正交投影

6.1. 正交补与正交直和

现设 $V$ 是内积空间， $S \leq V$ 。正交补

S^{⊥} := {v \in V : ⟨ v, s ⟩ = 0 \forall s \in S}

仍是子空间，且总有 $S \cap S^{⊥} = {0}$ 。

若进一步有 $V = S + S^{⊥}$ ，则

V = S \oplus S^{⊥}

是正交直和分解。此时沿 $S^{⊥}$ 投影到 $S$ 的算子记作 $P_{S}$ ，称为到 $S$ 的正交投影。相应的互补投影是 $P_{S^{⊥}} = Id_{V} - P_{S}$ 。

6.2. 自伴性

正交投影不仅幂等，还是自伴的。

设 $v = s + t$ 、 $w = s^{'} + t^{'}$ ，其中 $s, s^{'} \in S$ ， $t, t^{'} \in S^{⊥}$ 。则

⟨ P_{S} v, w ⟩ = ⟨ s, s^{'} + t^{'} ⟩ = ⟨ s, s^{'} ⟩ = ⟨ s + t, s^{'} ⟩ = ⟨ v, P_{S} w ⟩ .

故 $P_{S}^{*} = P_{S}$ 。同理 $P_{S^{⊥}}^{*} = P_{S^{⊥}}$ 。

反之，若 $P^{2} = P$ 且 $P^{*} = P$ ，则 $P$ 必是到 $S := Im P$ 的正交投影。

证明

$P^{2} = P$ 已经给出 $V = Im P \oplus ker P$ 。记 $S := Im P$ ，只需再证 $ker P = S^{⊥}$ ，这样补空间就是正交补， $P$ 就是沿 $S^{⊥}$ 投影到 $S$ 的正交投影。

第一步： 任意向量 $v \in V$ 为零，当且仅当它与整个空间正交：
$v = 0 ⟺ ⟨ v, y ⟩ = 0, \forall y \in V$
也就是 $V^{⊥} = {0}$ 。一边： $v = 0$ 时 $⟨ 0, y ⟩ = 0$ 。另一边：若对一切 $y$ 有 $⟨ v, y ⟩ = 0$ ，取 $y = v$ ，正定性给出 $⟨ v, v ⟩ = 0$ ，故 $v = 0$ 。

把 $v$ 换成 $P x$ ，即得 $x \in ker P$ 当且仅当对一切 $y$ 有 $⟨ P x, y ⟩ = 0$ 。

第二步： 用伴随把上式改写到 $x$ 一侧。由伴随的定义，
$⟨ P x, y ⟩ = ⟨ x, P^{*} y ⟩ .$
因此 $x \in ker P$ 当且仅当对一切 $y \in V$ 有 $⟨ x, P^{*} y ⟩ = 0$ 。而 ${P^{*} y : y \in V}$ 恰好是 $Im P^{*}$ ，再按正交补的定义，
$(Im P^{*})^{⊥} = {v \in V : ⟨ v, w ⟩ = 0 \forall w \in Im P^{*}} .$
故 $x \in ker P$ 当且仅当 $x \in (Im P^{*})^{⊥}$ ，即
$ker P = (Im P^{*})^{⊥} .$
第三步： 加上自伴性。 $P^{*} = P$ 给出 $Im P^{*} = Im P = S$ ，因此
$ker P = S^{⊥} .$
于是 $V = S \oplus S^{⊥}$ ，且 $P$ 正是沿 $S^{⊥}$ 投影到 $S$ 的投影。

总结：

一般投影 ⟺ P^{2} = P, 正交投影 ⟺ P^{2} = P 且 P^{*} = P .

7. 与商空间

若 $V = S \oplus T$ ，第 4 节的 $P_{T}$ 是沿 $S$ 投影到 $T$ ，且

ker P_{T} = S, Im P_{T} = T .

把 $P_{T}$ 看成满的线性映射 $V \to T$ ，向量空间(商空间) 的第一同构定理给出

V / S ≅ Im P_{T} = T .

对称地 $V / T ≅ S$ 。

8. 投影的唯一性

设 $P, Q : V \to V$ 都是投影算子。则

P = Q ⟺ Im P = Im Q 且 ker P = ker Q .

也就是说，一个投影由它的像空间和核唯一确定；等价地说，由“投影到哪个子空间”以及“沿哪个补空间投影”唯一确定。

证明

必要性显然。下证充分性。记
$S := Im P = Im Q, T := ker P = ker Q .$
由第 5 节的结论， $V = S \oplus T$ ，且 $P, Q$ 都是沿 $T$ 投影到 $S$ 的投影。对任意 $v \in V$ ，设其唯一分解为
$v = s + t, s \in S, t \in T .$
于是
$P v = s = Q v .$
这对一切 $v \in V$ 都成立，故 $P = Q$ 。

正交投影是这一结论的直接特例：若 $P, Q$ 都是到同一子空间 $S$ 的正交投影，则

Im P = Im Q = S, ker P = ker Q = S^{⊥} .

因此 $P = Q$ 。所以只要到 $S$ 的正交投影存在，它就是唯一的。

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