向量空间(内积空间)

前置

• 向量空间(赋范向量空间)
• complex-number

5. 内积空间

• $F$ 为$\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$，$V$是 $F$ 上的向量空间，$⟨.,.⟩:V\times V\to F$，满足以下条件，则称$⟨.,.⟩$为$V$上的内积，$(V,⟨.,.⟩)$为内积空间。

  • 共轭对称：$⟨v,w⟩=\overline{⟨w,v⟩}$
  • 正定性：$⟨v,v⟩\ge 0$ and $⟨v,v⟩=0⟺v=0$
  • 线性性：$⟨av+bw,z⟩=a⟨v,z⟩+b⟨w,z⟩$

• 若线性变换$T$可逆，且满足$⟨T(v_1),T(v_2)⟩=⟨v_1,v_2⟩,\forall v_1,v_2\in V$, 则称$T$为酉变换（unitary transformation）

• 所有的酉变换在复合运算下构成一个群，被称为酉群（unitary group），记作$U(V)$

• $SU:=\{T\in U(V)|\det T=1\}$是$U(V)$ 的子群，被称为特殊酉群 (Special Unitary Group)。

• 若 $V$ 是内积空间，线性映射 $P:V\to V$ 的伴随算子是满足

  $$⟨Px,y⟩=⟨x,P^{\ast }y⟩,\forall x,y\in V$$

  的线性映射 $P^{\ast }:V\to V$。这样的 $P^{\ast }$ 若存在则唯一。若 $P^{\ast }=P$，称 $P$ 为自伴算子。

5.1. 内积空间的性质

1. 正交投影若存在则唯一
2. 内积可以诱导范数$||v||=\sqrt{⟨v,v⟩}$
3. 内积空间可以诱导赋范线性空间
4. 内积空间可以诱导度量空间
5. 有限维内积空间可以通过施密特正交化得到正交基。
6. 内积空间中，柯西-施瓦茨不等式：$|⟨v,w⟩|\le ||v||\cdot ||w||$, 可通过正交分解来证明。
7. 正交 $\Rightarrow$ 线性无关
8. 设 $V$ 是域 $F$（$\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）上的有限维内积空间。对于 $V$ 上的任何线性泛函 $L:V\to F$，存在唯一的向量 $v\in V$，使得对于所有的 $h\in V$，都有：
   $L(h)=⟨h,v⟩$

在内积空间上，内积$\stackrel{induce}{\to }$范数$\stackrel{induce}{\to }$度量

5.2. 证明

5.2.1. 伴随算子的唯一性

证明

设 $Q_1,Q_2:V\to V$ 都满足定义式，即对一切 $x,y\in V$，

$$⟨Px,y⟩=⟨x,Q_{1}y⟩=⟨x,Q_{2}y⟩.$$

内积对第二变元共轭线性，且 $\overline{-1}=-1$，故

$$⟨x,Q_{1}y⟩-⟨x,Q_{2}y⟩=⟨x,Q_{1}y-Q_{2}y⟩=⟨x,(Q_1-Q_2)y⟩.$$

左边为 $0$，因此对一切 $x,y$ 有 $⟨x,(Q_1-Q_2)y⟩=0$。固定 $y$，令 $z:=(Q_1-Q_2)y$，则 $⟨x,z⟩=0$ 对一切 $x\in V$ 成立。取 $x=z$，得 $⟨z,z⟩=0$。由内积的正定性，$z=0$。于是对一切 $y$ 有 $(Q_1-Q_2)y=0$，即 $Q_1=Q_2$。

5.3. Riesz 表示定理 (有限维情形)

设 $V$ 是域 $F$（$\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）上的有限维内积空间。对于 $V$ 上的任何线性泛函 $L:V\to F$，存在唯一的向量 $v\in V$，使得对于所有的 $h\in V$，都有：
$L(h)=⟨h,v⟩$

证明：

存在性：
设 $\dim (V)=n$，根据性质，通过施密特正交化可得 $V$ 的一组标准正交基 $(e_1,e_2,\dots ,e_n)$，满足 $⟨e_i,e_j⟩={\delta }_{ij}$。
对于任何向量 $h\in V$，它可以表示为：
$h={\sum }_{j=1}^n⟨h,e_j⟩e_j$
由于 $L$ 是线性映射，由其线性性质可得：
$L(h)=L\left({\sum }_{j=1}^n⟨h,e_j⟩e_j\right)={\sum }_{j=1}^n⟨h,e_j⟩L(e_j)$
为了构造 $v$，利用内积的共轭线性性质 $⟨h,\sum a_j{e}_j⟩=\sum \overline{a_j}⟨h,e_j⟩$，我们令：
$v:={\sum }_{j=1}^n\overline{L(e_j)}{e}_j$
验证：
$⟨h,v⟩=⟨h,{\sum }_{j=1}^n\overline{L(e_j)}{e}_j⟩={\sum }_{j=1}^n\overline{\overline{L(e_j)}}⟨h,e_j⟩={\sum }_{j=1}^{n}L(e_j)⟨h,e_j⟩=L(h)$
存在性得证。

唯一性：
假设存在 $v_1,v_2\in V$ 满足对于所有 $h\in V$：
$L(h)=⟨h,v_1⟩=⟨h,v_2⟩$
由此推导：
$⟨h,v_1-v_2⟩=0,\forall h\in V$
取特定的向量 $h=v_1-v_2$，根据内积的正定性：
$⟨v_1-v_2,v_1-v_2⟩=\Vert v_1-v_2{\Vert }^2=0⟺v_1-v_2=0$
即 $v_1=v_2$。唯一性得证。

Q.E.D.

6. Hilbert 空间

完备内积空间为 Hilbert 空间。

6.1. Hilbert 空间的性质

1. Hilbert 的投影存在。