环论(多项式环)

前置

• 环论(二)

环$R$上的多项式$R[x]$

$R[x]=\{{\sum }_{i=0}^{\infty }{a}_i{x}^i|a_i\in R,\text{其中只有有限个}{a}_i\ne 0\}$,$n:=\max \{a_i|a_i\ne 0\}$为多项式的阶, 记作$\mathrm{deg}(r(x))$

在集合$R[x]$上定义加法和乘法
$r_1(x),r_2(x)\in R[x],r_1(x)={\sum }_{i=0}^{\infty }{a}_i{x}^i,r_2(x)={\sum }_{i=0}^{\infty }{b}_i{x}^i$

$r_1(x)+r_2(x)={\sum }_{i=0}^{\infty }(a_i+b_i)x^i$
$r_1(x)r_2(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }({\sum }_{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i})x^n$

若$r_1$的阶为$m$,$r_2$的阶为$n$, 则

1. $r_1(x)+r_2(x)$的阶最大为$\max \{n,m\}$
2. $r_1(x)r_2(x)$的阶最大为$m+n$
3. 若$r_1(x)\ne 0,r_2(x)\ne 0$,则$\mathrm{deg}(r_1(x)r_2(x))=\mathrm{deg}(r_1(x))+\mathrm{deg}(r_2(x))$

$<R[x],+>$的性质

1. $<R[x],+>$是继承$<R,+>$的封闭性
2. $<R[x],+>$会继承$<R,+>$结合律
3. $<R[x],+>$会继承$<R,+>$的交换律
4. $<R[x],+>$会继承$<R,+>$的单位元，${\sum }_{i=0}^{\infty }0x^i$是$<R[x],+>$的单位元
5. $<R[x],+>$会继承$<R,+>$的逆元，${\sum }_{i=0}^{\infty }(-a)x^i$是${\sum }_{i=0}^{\infty }{a}_i{x}^i$的逆元

$<R[x],\cdot >$的性质

1. $<R[x],\cdot >$是继承$<R,\cdot >$的封闭性
2. $<R>[x],\cdot >$有结合律

结合律的证明

$$\begin{array}{rl}(\sum _{i=0}^{\infty }{a}_i{x}^i\cdot \sum _{j=0}^{\infty }{b}_j{x}^j)\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{c}_k{x}^k& =\sum _{m=0}^{\infty }(\sum _{i+j=m}{a}_i{b}_j)x^m\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{c}_k{x}^k\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{m=0}^n(\sum _{i+j=m}{a}_i{b}_j)c_{n-m})x^n\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{i+j+k=n}{a}_i{b}_j{c}_k)x^n\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{i=0}^n{a}_{n-i}(\sum _{j+k=i}{b}_j{c}_k))x^n\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{i=0}^n{a}_{n-i}\sum _{l=0}^i{b}_l{c}_{i-l})x^n\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }{a}_i{x}^i\cdot (\sum _{j=0}^{\infty }(\sum _{p=0}^j{b}_p{c}_{j-p})x^j)\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }{a}_i{x}^i\cdot (\sum _{j=0}^{\infty }{b}_j{x}^j\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{c}_k{x}^k)\end{array}$$

$<R[x],+,\cdot >$

1. $<R[x],+,\cdot >$有分配律

由以上$<R[x],+,\cdot >$的性质知$<R[x],+,\cdot >$是一个环

特别地，一个域$F$上的多项式$<F[x],+,\cdot >$是一个环

• 不可约多项式：A nonconstant polynomial $f(x)\in F[x]$ is irreducible over $F$ or is an irreducible polynomial in $F[x]$ if $f(x)$ cannot be expressed as a product $g(x)h(x)$ of two polynomials $g(x)$ and $h(x)$ in $F[x]$ both of lower degree than the degree of $f(x)$. If $f(x)\in F[x]$ is a nonconstant polynomial that is not irreducible over $F$, then $f(x)$ is reducible over $F$.

环上多项式的性质

1. 如果$R$ 非零且有单位元，则 $R[x]$也有单位元.
2. 如果$R$是一个交换环，则$R[x]$也是一个交换环。
3. 如果$R$是一个幺环，则$R[x]$也是一个幺环。$R[x]$乘法单位元为${\sum }_{i=0}^{\infty }{a}_i{x}^i,a_0=1,a_i=0,i>0$
4. 如果$R$是一个整环，则$R[x]$也是一个整环

域上多项式的性质

1. 域上多项式的带余数除法：$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$,$r(x)$的阶小于 $g(x)$的阶
2. $a\in F$是$f(x)\in F[x]$的零点 $⟺(x-a)$是 $f(x)$的因子
3. $f(x)\in F[x]\wedge f(x)\ne 0$的根的个数不超过其阶数

域上多项式的估值同态映射

$$F\le E$$ $${\varphi }_a:F[x]\to E$$ $$a\in E,{\varphi }_a(f(x))=f(a)$$

则${\varphi }_a$是一个环同态映射