环论(杂)

前置

• 环论(有限环)
• 环论(多项式环)

Rings and fields

1. $x$ 是${\mathbb{Z}}_n$中的零因子$⟺$ $x$ 与 $n$ 不互素.
2. 若$p$是素数，则${\mathbb{Z}}_p$是无零因子环
3. 有限整环是域
4. ${\mathbb{Z}}_p$是域
5. 除环只有 0 和 1 两个幂等元
6. 整环的交是整环
7. 有限非零无零因子环是除环
8. 整环和除环的幂等元只有 0 和 1,即 1 是整环和除环的唯一非零幂等元。因此整环和除环的乘法单位元等于子结构的乘法单位元
9. 整环的特征等于子结构的特征，除环的特征等于子结构的特征。
10. 整环的特征是 0 或素数
11. $a^p\equiv a\mathrm{mod}p$, if p is prime
12. 一个整环同构于其商域的一个子环
13. 对于一个包含整环 $D$ 的域 $F$,则 $D$ 同构于 $F$ 的一个子域
14. 如果 $D$ 是一个整环，则 $D[x]$也是一个整环。$D[x]$的乘法可逆元素只有$1$
15. $R$ 到 $R$ 上的所有函数组成的集合,再定义加法和乘法：$(f+g)(r)=f(r)+g(r)$，$(f\cdot g)(r)=f(r)\cdot g(r)$,那么$<R^R,+,\cdot >$是一个环
16. 一个域 $F$ 的非零元素构成的乘法群$<F^{\ast },\cdot >$的有限子群是循环群。
17. 阶数为 2 或 3 的$f(x)\in F[x]$可约等价于 f(x)有零点
18. 有序环 $R$ 中非零元素的平方为正值，$R$ 的 characteristic is 0,$R$ 无零因子
19. 复数环上不能定义序，有限环上不能定义序
20. 序的等价定义：$a<b,a=b,a>b$有且只有一个成立； 如果$a<b$且$b<c$，则$a<c$；$b<c$，则 $a+b<a+c$
21. 环同构映射会诱导一个序

Ideal and factor ring

1. $\varphi :R\to R^{\prime }$是环同态映射，如果 $R$ 有单位元且$Ker[\varphi ]$含有 $R$ 的可逆元素,则$Ker[\varphi ]=R$
2. 从域到环的同态映射，要么是单射，要么同态映射把域中的每个元素映射到环的加法单位元
3. 域 $F$ 的因子环要么是零环，要么和 $F$ 同构
4. 理想的交还是理想
5. 域没有非平凡的真理想，即域是单环
6. 若 $R$ 是一个交换幺环，则 $M$ 是 $R$ 的一个极大理想$⟺$ $R/M$ 是一个域
7. 若 $R$ 是一个交换幺环，则 $R$ 是域$⟺$ $R$ 是单环
8. 若 $R$ 是一个交换幺环，$N$ 是 $R$ 的真理想，则 $N$ 是素理想\iff$$R/N是整环
9. 若 $R$ 是一个交换幺环, 则 $R$ 的极大理想 $M$ 是素理想
   R 交换幺 $\Rightarrow$ $R/M$是域 $\Rightarrow$ $R/M$ 是整环 $\Rightarrow$ M 是素理想
10. $\varphi (n)=n\cdot 1$ 是$Z\to R$的同态映射
11. 一个幺环$R$的 characteristic $n>1$, 则${\mathbb{Z}}_n$同构于 $R$ 的一个子环，或 $n=0$,则 $\mathbb{Z}$ 同构于 $R$ 的一个子环
12. $F$ 是一个域，要么 $F$ 的 characteristic 是素数，且${\mathbb{Z}}_p$同构于 $F$ 的一个子域
    要么 $F$ 的 characteristic 是 0，$\mathbb{Q}$ 同构于 $F$ 的一个子域
13. $F[x]$的一个理想$<p(x)>$是极大理想 $⟺$ $p(x)$在 $F$ 上不可约
14. $p(x)$是 $F[x]$的不可约多项式，$p(x)$ 整除 $r(x)s(x)$，则 $p(x)$整除 $r(x)$或 $p(x)$整除 $s(x)$
15. 交换环 $R$ 上任取一个元素$i$,则集合$\{ir|r\in R\}$是 $R$ 的一个理想