群论(杂)

前置

• 群论(二)
• 群论(循环群)

定义

• 群的直积：带有群运算的笛卡尔积。设$\{G_t{\}}_{t\in T}$为群族，$G:={\prod }_{t\in T}{G}_t$，定义$G$上的二元运算$(a_t{)}_{t\in T}\ast (b_t{)}_{t\in T}:=(a_t\ast b_t{)}_{t\in T}$。则$G$为群，称为$\{G_t{\}}_{t\in T}$ 的直积，记作 ${\prod }_{t\in T}{G}_t$。知：其单位元为$(e_t{)}_{t\in T}$，逆元为$(a_t^{-1}{)}_{t\in T}$。
• An isomorphism $\varphi$ : $G\mapsto G$ of a group $G$ with itself is an automorphism of $G$. The automorphism $i_g$ : $G\mapsto G$, where $i_g(x)=gx{g}^{-1}$ for all $x\in G$, is the inner automorphism of $G$ by $g$. Performing $i_g$ on $x$ is called conjugation of $x$ by $g$.
• A subgroup $K$ of G is a conjugate subgroup of a subgroup $H$ of G if $K=i_g[H]$ for some $g\in G$.
• 群的中心：$Z(G)=\{g\in G|gx=xg,\forall x\in G\}$

permutations, coset, direct product

1. lagrange 定理：若 G 为有限群，H 为 G 的子群，则 |H|整除|G|
2. 素数阶的群都为循环群。
3. $K\le H\le G$,$(G:K)=(G:H)\times (H:K)$
4. 任意一个群的子群的左陪集数量与右陪集数量相等。
5. 如果一个子群的陪集的数量为 2,那么每一个左陪集都是右陪集。
6. $n$ 阶有限循环群 $G$, 若 $d|n$, 则 $G$ 有唯一阶数为 $d$ 的子群。
7. $n$ 个群的直积是一个群。
8. $Z_m\times Z_n$是循环群且同构于$Z_{mn}$ 当且仅当 $m,n$ 互素。${\prod }_{i=1}n{Z}_{m_i}$为循环群且同构于$Z_{m_1{m}_2...m_n}$ 当且仅当 $m_i$ 两两互素。

homomorphism and factor groups

下面的如果没有加限定，则默认$\varphi :G\to G^{\prime }$是群同态,$H=Ker(\varphi )$，

1. 如果 $G$ 是一个有限群，则$|\varphi (G)|$整除$|G|$
2. if $|G|$为素数，则$\varphi$要么是 trivial 的，要么是单射。
3. $\varphi [G]$为交换群$⟷$ $\forall x,y\in G,xy{x}^{-1}{y}^{-1}\in Ker(\varphi )$
4. 子群的共轭关系为等价关系。
5. 正规子群的所有陪集两两共轭。
6. $m=(G:H)$,则对于任意$a\in G$,都有$a^m\in H$
7. 正规子群的交为正规子群。
8. 如果一个有限群的某个阶的子群只有 1 个，那么这个阶的子群是正规子群。
9. 正规子群 $N$， 交， 一个子群 $H$， 是一个 $H$ 的正规子群。
10. 如果存在所有 s 阶子群的交是一个正规子群。
11. 一个群 $G$ 上的所有的自同构在函数复合运算下构成一个群 $K$，inner automorphism 是 $K$ 的一个正规子群。
12. 使得$i_g$为恒等映射的所有 $g$ 组成的集合是 $G$ 的一个正规子群。
13. $G=H\times K$,$\bar{H}=\{(h,e)|h\in H\}$,则$G/\bar{H}$自然地同构于 K
14. 循环群的因子群是循环群。
15. 若 $N$ 是 $G$ 的正规子群，则$\varphi [N]$是$\varphi [G]$的正规子群，如果 $N^{\prime }$是$\varphi [G]$的正规子群,N’的逆像也是 $G$ 的正规子群。
16. $M$ 是 $G$ 的极大正规子群$⟺$G/M 是 simple 的
17. 所有的$ab{a}^{-1}b-1$生成的集合 C 是 G 的一个正规子群。如果 N 是 G 的一个正规子群，那么 G/N 可交换当且仅当$C\le N$
18. $N^{\prime }$是 $G$ 的一个正规子群，则 $N^{\prime }$的逆像是 $G$ 的一个正规子群。
19. $G$ 的中心 $Z(G)$是 $G$ 的一个正规子群，$G$ 的中心是 $H$ 的可交换子群。
20. $G/Z[G]$为循环群等价于 $G$ 是交换群。
21. $N$ 是 $G$ 的一个正规子群，$H$ 是 $G$ 的一个子群，则$HN=\{nh|h\in H,n\in N\}$是一个群，且是包含 $N$ 和 $H$ 的最小子群。
22. $M$ 和 $N$ 为 $G$ 的正规子群，则 $MN$ 是 $G$ 的正规子群。
23. 若 $H$ 和 $K$ 是 $G$ 的正规子群且 $H\cap K=e$，则$hk=kh,\forall h\in H,\forall k\in K$
24. $H$ 是 $G$ 的一个子群，则$aH=bH⟺b\in aH$
25. $M$ 是 $G$ 的正规子群，$N$ 是 $G$ 的子群，且$M<N$，$\varphi :G\to G/M$是经典的同态映射,则$\varphi [M]<\varphi [N]$
26. 群同构映射将单群映射到单群