群论(群作用)

前置

• 群论(二)
• 群论(置换群)

定义

• group action: let $X$ be a set and $G$ be a group. A group action of $G$ on $X$ is a function $\varphi :G\times X\to X$ such that
  • $e\cdot x=x$ for all $x\in X$ (将$\varphi (g,x)$记为$g\cdot x$或$gx$)
  • $(gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)$ for all $g,h\in G$ and $x\in X$
• $G_x:=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}$
• $X_g:=\{x\in X\mid g\cdot x=x\}$
• 定义关系$x\sim y$当且仅当存在$g\in G$使得$y=g\cdot x$,易得此关系为等价关系，$x$的等价类$[x]=:Gx=\{gx\mid g\in G\}$,也称作$x$的轨道(orbit)

性质

1. ${\sigma }_g:X\to X,{\sigma }_g(x):=gx$是$X$上的置换，$\varphi :G\to S_X$, $\varphi (g)={\sigma }_g$是群同态映射
2. $G_x$是$G$的子群
3. $|Gx|=(G:G_x)$，即存在$f:Gx\to G/G_x$，且$f$是双射
4. $Y\subseteq X,G_Y=\{g\in G|gy=y,\forall y\in Y\}$是 $G$ 的一个子群。